一．填空题（共3小题）

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：

①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；

②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．

其中真命题的序号为　　　　　　．

2．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是　　　　　　．

3．从1，2，3，4，5中不放回依次取两个数．已知第一次取出的是奇数，则“第二次取到的也是奇数”的概率为　　　　　　．

二．解答题（共3小题）

4．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．

（I）试估计该校数学的平均成绩；

（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

5．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．

（1）求证：面O1DC⊥面ABCD；

（2）若∠A1AB=60°，求二面角C﹣AA1﹣B大小；

（3）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD．

6．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

寒假作业（四）参

1．①若m⊥a，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，①错

②根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故②正确

③两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，③对

④相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故④错

2．只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．

若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；

若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；

若奥迪车上有两个小孩，则有=10种．

综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，

3．记事件A=“第一次取出的是奇数”，事件B=“第二次取到的是奇数”，

则事件AB=“第一次取出的是奇数，第二次取到的也是奇数”

则P（A）==，P（AB）==．因此， P（B|A）===．

4．（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112

（2）由于根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）=0.9974

故

所以前13名的成绩全部在130分以上

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10

所以X的取值为0，1，2，3．

所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；

所以X的分布列为 

5．（1）连AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．

由平行六面体的性质知：A1O1||OC且A1O1=OC    

∴四边形A1OCO1为平行四边形，A1O||O1C

又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD

又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD

（2）过点O作OM⊥AA1，垂足为M，连接BM．∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥OB

又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO．由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C﹣AA1﹣B的平面角．    

 在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴    又∵，∴    ∴     二面角C﹣AA1﹣B的大小为 

（3）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH∥A1O，点H在直线AC上，

且EF在平面ABCD上的射影为HF．

由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD⇔FH∥AB

∵AE=2EA1，∴AH=2HO，从而CH=2AH又∵HF∥AB，∴CF=2BF

从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD

6．（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，

直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故．①

由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得；

由D在AB上知x0+2kx0=2，得．所以，

化简得24k2﹣25k+6=0，解得或．

（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），

不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF

=•（﹣y1）

=

=x2+2y2===，

当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．下载本文