一．填空题（共3小题）

1．给出下列命题：

①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；

②当x∈（1，+∞）时，函数的图象都在直线y=x的上方；；

③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；

④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．

其中正确命题的序号是　　　　　　．（把你认为正确命题的序号都填上）

2．的展开式中常数项为　　　　　　．（用数字作答）

3．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有　　　　　　种（用数字作答）．

二．解答题（共3小题）

4．设数列{an}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．

（1）求a1；

（2）用n，x表示数列{an}的通项an和前n项和Sn；

（3）若，用n，x表示An．

5．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

6．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点），当|﹣|＜时，求实数t取值范围．

寒假作业（五）参

1．对于：①已知a，b，m都是正数，⇒ab+bm＞ab+am⇒a＜b；正确；

对于②，因为当x∈（1，+∞）时，函数y=x3的图象都在直线y=x的上方；但函数的图象都在直线y=x的下方；所以②错误；

对于③，因为x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0恒成立，所以命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”为假命题，所以命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；所以③正确；

对于④，因为||x|﹣|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，所以若④“|x|≤1，且|y|≤1”成立，则|≤|x|+|y|≤2，所以“|x+y|≤2”成立，反之“|x+y|≤2”例如x=﹣1，y=3满足，但不满足④“|x|≤1，且|y|≤1”，所以“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件，所以④正确．

故答案为：①③④．

2．=

∴展开式中常数项等于展开式的常数项加上展开式中含的系数的2倍

∵展开式的通项

令r=0，r=2得的常数项为1，展开式中含的系数为C82

故展开式中常数项为1+2•C82=57．

故答案为57

3．每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，

第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；

第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；

第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；

若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．

故为B1、C1选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，

则共有A43×3×3=216种方法．

故答案为：216

4．（1）∵a1=•，

∴⇔

∴m=3．…（2分）

∴a1=•=1…（3分）．

（2）由知q=T2=x3••x﹣2=x．（5分）

∴an=xn﹣1，

∴Sn=．…（6分）

（3）当x=1时，Sn=n．An=+2+3+…+n…①

而An=n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+…②

又∵=，=，=，…

①②相加得2An=n（++++…+）=n•2n，

∴An=n•2n﹣1…．（9分）

当x≠1时，Sn=，

An=[（1﹣x）+（1﹣x2）+（1﹣x3）+…+（1﹣xn）]

=[（++++…+）﹣﹣（x+x2+…+xn）]

=[（2n﹣1）﹣（（1+x）n﹣1）]

=[2n﹣（1+x）n]…．（11分）

∴…．（12分）

5．（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生所包含的事件数C93，满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，

这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到

；

（2）记“这3个数之和为18”为事件B，

考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，

分别为459，567，468，369，279，378，1七种情况，∴；

（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，

P（ξ=0）=   P（ξ=1）=    P（ξ=2）=

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为．

6．（Ⅰ）由题意知，所以．

即a2=2b2．（2分）

又因为，所以a2=2，

故椭圆C的方程为．（4分）

（Ⅱ）设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，．（6分）

，∵∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

∴，

∵点P在椭圆上，∴，∴16k2=t2（1+2k2）．（8分）

∵＜，∴，∴

∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴．（10分）      ∴，∵16k2=t2（1+2k2），∴，

∴或，∴实数t取值范围为．（12分）下载本文