一．填空题（共3小题）
1．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为 ．
2．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
3． “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为 ．
二．解答题（共3小题）
4．设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．
（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．
5．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
6．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
寒假作业（三）参
1．昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，
∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为π×22=4π×，
∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为=．
2．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA=，
圆的半径为r=，
∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，
3．当首位是4时，只有1个结果43210
当首位是5时，有C54=5种结果，53210 54210 54310 54320 54321
当首位是6时，有C=15种结果，先从小到大列举出来：63210 210 310 320 321 65210 65310 65320
65321 65410 65420 65421 65430 65431
故第20个渐减数是65431
4．（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R ∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，
∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，
若q真，则a≥﹣1，
∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．
（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）
∴，解得：2≤m≤3．
5．（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，
在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG=，且EG⊥AC，
在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，
在直角三角形FDG中，可得FG=，
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，
建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），
F（﹣1，0，），C（0，，0），
即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），
故cos＜，＞===﹣．
则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．
6．（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，
∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），，
又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；
（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，
∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由，可得x2﹣4kx﹣4=0，可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
由，得（9+8k2）x2+16kx﹣=0，可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，
又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，
化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，
即直线l的斜率为±．下载本文
