专题：椭圆中最值问题求解策略

有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。

第一类：求离心率的最值问题

破解策略之一：建立的不等式或方程

例1：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。

分析：建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设，则，

利用到角公式及得：（），

又点在椭圆上，故，消去， 化简得又即

则，从而转化为关于的高次不等式解得。

故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）

点评：对于此类最值问题关键是如何建立之间的关系。常用椭圆上的点表示成，并利用椭圆中的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。

变式练习：1、如果椭圆上存在一点P，使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是（　　）

A、      B、  C、   D、

破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围

例2：已知椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。

分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。

解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：

故，故椭圆离心率的最小值为。

点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。

第二类：求点点（点线）的最值问题

破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）

例3：点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。

[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是，由已知得

由于

（2）直线AP的方程是

设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，

于是

椭圆上的点到点M的距离d有

由于

点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。

破解策略之四：利用椭圆定义合理转化

例4：定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

解：设F为椭圆的右焦点，如图作于A'，

BB'⊥于B'，MM'⊥于M'，则

当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。

点评：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。

第三类：求（三角形、四边形等）面积的最值问题

   例5、

变式练习：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。

第四类：求线段之和（或积）的最值问题

①：最小值为M到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破

②︱MP︱+︱MF2︱：最大值2a+︱PF1︱,最小值2a–︱PF1︱---运用第一定义，变加为减突破

破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。

例7：若椭圆内有一点，为右焦点，椭圆上的点使得的值最小，则点的坐标为（   ）

   A．            B．               C．           D． 

提示：联系到将用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。选。思考：将题中的2去掉会怎样呢？

破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边

例8：如图，在直线上任意取一点，经过点且以椭圆的焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？

分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短三点一直线寻求对称对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用

解：椭圆的两焦点分别为（－3，0）、（3,0），

作关于直线的对称点，则直线的方程为

由方程组　　得的坐标（－6，3），

由中点坐标公式得的坐标（－9,6）,所以直线的方程。

解方程组　　得点坐标（－5,4）。由于，　　

点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。

除了上述几类之外，高考中还有数量积的最值问题、直线斜率（或截距）的最值问题等等，由此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广，从中也渗透了求最值的一些常规方法，运用定义、平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。

变式练习1、P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。

分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值

o

可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。

解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1

交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知

–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8

结论1：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。

（2）P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。                         

   分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。

解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+，最小值是。

结论2：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。

变式练习2、已知定点A（2，1），F（1，0）是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|+3|PF|的最小值.

解：椭圆右准线设P在上的射影为D，由椭圆第二定义有.过A作于E,交椭圆于P3, P3使得达到最小值为7,此时P3坐标为

评析：利用第二定义实现了数据的转化，本小题一般情形“假如题设与本题类同，所求的便是的最小值（也适合于双曲线、抛物线）

策略二：二次函数法

例2、求定点A(a,0)到椭圆上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x,y的函数，求最小值。

解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱2=(x-a)2+y2 =(x-a)2+1-2=+1-a2由椭圆方程知x的取值范围是[-]

（1）若︱a︱≤,则x=2a时︱PA︱min=

（2）若a>,则x=时︱PA︱min=︱a－︱

（3）若a<－,则︱PA︱min=︱a+︱

结论3：椭圆上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

策略三：三角函数法

例3、椭圆上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。

分析：若按例3那样d=转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。

解：d=  ∵  ∴令    

则d==  

    当sin=1时,dmin=,    当sin=﹣1时,dmax=

结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。

演练1、求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离.

解：椭圆的参数方程为则椭圆上任意一点P坐标为,∴到直线的距离为==    ，d取最大值，即；，d取最小值，即

评析：因为椭圆方程为类似于三角中的同角的平方关系,故经常用三角代换转化为角的运算，对于解题往往会收到奇效，但一定要注意角的范围.

策略四：判别式法

例4、椭圆上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。

分析：把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线m：x+2y+c=0 将x=﹣2y﹣c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±, c=- 时直线m：x+2y-=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以dmin=

c=时直线m：x+2y+=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax=。

结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。

策略五：均值不等式法

例5、椭圆上上一点P到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（      ）

(A) (B) (C) (D) 

评析：因为椭圆第一定义为|PF1|+|PF2|=2a, 2a为定值，这正符合均值不等式和一定时，积有最大值这个结论.因而由|PF1|+|PF2|=10, 所以，所以当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·|PF2|=m取最大值，故P是短轴的端点时，m最大.选(C)

策略六：数形结合法

例5已知的焦点为F1、F2，在直线上找一点M,求以F1、F2为焦点，通过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.

解：F1（-2，0）、F2（2，0），F1关于的对称点为F’1(-6,-4),连接F’1 、F2交于点M即为所求，,c=2, b2=16，所求椭圆为.

评注：对称是数学美的一个非常重要的方面，充分发掘几何图形的对称性，利用数形结合的思想，可以把复杂的运算简单化.下载本文