2023年江苏省职业学校对口单招联盟一模考试

数学试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在下列每小题中，选出一个对的答案，将答题卡上相应选项的方框涂满、涂黑）

1.假如全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}4,1{=B ，那么B C A U =（ ▲ ）

A ．}5,3{

B ．}6,4,2{

C ．}6,4,2,1{

D ．}6,5,3,2,1{ 2.若复数i

1i -=z ，则=|z | （ ▲ ） A ．2 B

．2 C ．

21 D ．22 3．已知某项工程的网络图如下(单位：天)，若规定工期缩短2天，则下列方案可行的是 ( ▲)

B 、D 各缩短1天 B ．E 、F 各缩短1天

C ．E 、G 各缩短1天

D ．A 、D 各缩短1天

4.若在区间]2

,2[ππ-上随机取一个数x ，则x cos 的值介于0到21之间的概率为（ ▲ ） A ．31 B ．π2 C ．21 D ．3

2 5.若13

5sin )cos(cos )sin(=

---αβααβα，β是第四象限角，则=-)cos(β（ ▲ ） A ．135 B ．135- C ．1312 D ．1312- 6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=),

0(12),0(1)(x x x x f x 若5)(=x f ，则x 的值为 （ ▲ ） A ．2 B ．6- C ．2或6- D ．无法拟定

7.若圆锥的轴截面为等边三角形，则它的底面积与侧面积之比为 （ ▲ ）

A ．1:1

B ．1:2

C ．2:1

D ．1:3

8.已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则22bc ac >,给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③p ⌝，④q ⌝，其中真命题的个数为 （ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ． 3

D ．4 9．已知圆)0(0222>=-+a ax y x M ：截直线0=+y x 所得线段的长度是22，则圆M 与

圆⎩⎨⎧=+=,sin ,cos 1θθy x N ：的位置关系是 ( ▲ )

A ．相交

B ．内切

C ．外切

D ．相离

10.已知正数a ，b 满足591-=+ab b

a ,则a

b 的最小值为 （ ▲ ）

A.36

B.16

C.6

D.4

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．运营如图所示的程序框图,输出K 的值为 ▲ .

12.某中专学校一年级有学生400人，若用饼图来表达各年级学生人数的构成，则一年级学生人数所占饼图的圆心角为 100 ，则全校共有学生 ▲ 人．

13.若点)sin ,(cos αα在双曲线25722=

-y x 上，且20πα<<，则ααcos sin +的值为 ▲ ．

14. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()log (2)(1)f x x a x b =++-+ （,a b 为常数），若(2)1f =-，则(6)f -=____▲____．

15.若关于x 的方程12+=-kx x m ）

（R k ∈恒有解，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分）

16.（8分）设不等式2

12422≤-+x x 的解集为M ，若M 为函数1)(2-=x x f 的定义域， 求函数)(x f 的值域．

17.（10分）已知偶函数1)3()(2+-+=x b ax x f （,a b 为常数），0)1(=-f ．

(1)求函数)(x f 的表达式；

(2)当]2,2[-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围．

18. （12分）已知函数)(cos 2sin 2

3)(2R x x x x f ∈+=.

（1）当]4

,4[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值及取最小值时x 的值； （2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=

c ，1)(=C f ，若)sin ,1(A m =→与)sin ,2(B n =→共线，求a 的值．

19. （12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女（依次记为A ，B ，C ），乙校3男（依次记为D ，E ，F ）．

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任取1名参与支教，

①写出所有也许的结果；

②求选出的2名教师性别相同的概率；

（2）若从报名的6名教师中任选2名参与支教，求两名教师来自不同学校的概率．

20.（10分）将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格的小钢板，每板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为12、46、66块，问：截这两种钢板各多少张可得所需三种规格的成品，使所用钢板张数最少．

21.（12分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24,4432=+=a a a ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若数列}{n b 满足6,321==b b ，且}{n n a b -是等差数列，求数列}{n b 的前n 项和；

（3）已知数列}{n c 满足n n a n c 2log )1(1+=

，若数列}{n c 的前k 项和为11

10，求k 的值． 22.（12分）某公司将一款品牌童装投放到某地区销售，其制作成本为60元／件.根据市场调查，在一段时间内，销售单价为80元／件时，销量为200千件，而销售单价每减少1元就可多售出20千件，物价部门规定销售单价不得高于80元／件．

（1）写出销量y （千件）与销售单价x （元）之间的函数关系式并写出定义域；

（2）销售单价x （元）为多少时，销售该童装所获得的利润W （千元）最大？并求最大值.

23.（14分）已知椭圆:)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点是21,F F ，点)22,2(P 在椭圆上，且421=+PF PF ．

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆M 通过椭圆的左右顶点及上顶点，求圆M 的方程；

（3）设倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于B A ,两点，且A 点的坐标为)0,(a -，若5

24=

AB ，点C 为（2）中圆M 上的动点，求ABC ∆面积的最大值．

绝密★启封前 秘密★启用后

2023年江苏省职业学校对口单招联盟一模考试

数学试卷答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）

1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9．B 10．A

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．99 12．1440 13．5

7 14． 4 15． 1≥m 三、解答题（本大题共8小题，共90分）

16.解：（1）由题意可得：142222--+≤x x …………………………………………………1分 则 1422-≤-+x x

解得13-≤≤x ………………………………………………3分 所以定义域为]1,3[- ………………………………………………4分

（2）)13(1)(2≤≤--=x x x f 对称轴为0=x

所以 8)3()(max =-=f x f …………………………………………5分 1)0()(min -==f x f …………………………………………7分

所以，)(x f 的值域为[]8,

1- …………………………………………8分 17.解：(1)由于函数)(x f 为偶函数，∴30b -=， …………………………………2分

又(1)0,f -=所以21,()1a f x x =-=-+…………………………………………5分

(2)2()()1g x f x kx x kx =-=--+

函数的对称轴是 2k x =-

…………………………………………7分 当22k -≤-或22

k -≥ 即4k ≥或4k ≤-时，)(x g 是单调函数. …………………………………………10分

18.解：（1）x x x f 2cos 2sin 23)(+==2

2cos 12sin 23x x ++ 2

1)62sin(212cos 212sin 23++=++=πx x x …………2分 由于x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππ，所以]32,3[62πππ-∈+x 所以当3-62π

π

=+x ，即4π

-=x 时，……………………………4分

2

31取最小值为)(-x f ．……………………………6分 （2）由于1)(=C f ，所以12

1)62sin(=++π

C 所以2

1)62sin(=+π

C 由于),0(π∈C ，所以6562ππ

=+C ，所以3

π=C ……………………………8分 由于m ∥n ，所以A B sin 2sin =，所以a b 2=……………………………10分

又由C ab b a c cos 2222-+=得 2

1443222⨯-+=a a a ，解得1=a ．……………………………12分 19.解：（1）①两校各取1名教师的所有也许的结果是：（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），

（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种……………………………4分

②选出的2名教师性别相同的结果是：（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ）,（B ，E ），

（B ，F ）共6种，所以选出的两名教师性别相同的概率P=3

296=；………………8分 （2）从两校报名的教师中任选2名的所有也许是1526=C （种）

2名教师来自不同学校的结果是91313=⋅C C （种）

所以，2名教师来自不同学校的概率为5

3159=． ………………12分 20.解：设需截取第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板总数为z 张，则

目的函数min z x y =+ ……………………………1分

2123549660,0

x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩ ……………………………5分 如图,可行域是阴影部分，平移直线0x y +=，由图可知目的函数在A 点取到最优解

解方程组 ⎩⎨⎧=+=+46

53122y x y x 得)8,2(A ……………………………9分 所以当截取第一种钢板2张，第二种钢板8张，可以满足规定，且使用钢板张数最少，为

10张． ……………………………10分

21.解：(1）解：设等比数列的公比为，依题意 ． 由于

两式相除得 ：

， 解得 ， (舍去)．

所以

． 所以数列

的通项公式为 ．……………………………4分 （2）解:由已知可得

， 由于

为等差数列， 所以数列

是首项为，公差为的等差数列． 所以 .

O A y

则

. 因此数列的前项和：

. ……………………………8分

（3）由于111)1(1log )1(12+-=+=+=n n n n a n c n n 所以}{n c 的前k 项的和为11101111113121211=+-=+-++-+-k k k 所以10=k ． …………………………12分

22.解：（1）据题意得:y=200+20(80-x)=-20x+1800 (60

x 80) ……………………4分

（2）w=(x-60)( -20x+1800)=-20x 2+3000x-108000 (60

x 80) …………………8分

对称轴为x=75∈［60,80］

所以当x=75时，w 取最大值4500．

答:当销售单价为75元时，公司在该地区获得的利润最大，最大利润是4500千元． ………………………12分 23.解：（1）据题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12124222

b a a 解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆方程为1422=+y x ……………………………4分

（2）由（1）可知椭圆的左右顶点和上顶点分别为（-2,0），（2,0），（0,1） ∵圆M 过这三点，∴设圆M 的方程为x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0

分别将三点的坐标代入方程得⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=+-01024024F E F D F D 解得，D=0，E=3，F=-4

∴圆M 的方程为x 2+y 2

+3y-4=0 ……………………8分

（3）点A 为（-a ，0）即为（-2,0）

∵直线l 过点A 且与椭圆有两个交点，∴直线l 的斜率一定存在

∴设直线l 的方程为y=k （x+2）将直线方程与椭圆方程联立方程组得 ⎩⎨⎧=++=4

4)2(22y x x k y 化简得（1+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2-4=0 ∴2

221222141416,4116k k x x k k x x +-=+-=+ ∴52441414)(1||2

2212212=+⨯+=-++=k k x x x x k AB 解得k=±1，且此时∆＞0

∵直线l 的倾斜角为锐角，∴k=1

∴直线l 的方程为y=x+2即直线的方程为x-y+2=0 ………………………11分 ∵5

24=AB 为定值，∴要使ABC ∆的面积最大即要使点C 到直线AB 的距离最大 圆M 的圆心M 到直线的距离4272

|223|

=+=d ∴点C 到直线AB 的距离的最大值为25427+=

+r d ∴ABC ∆的面积的最大值为

5257+．……………………………14分下载本文