1．过两直线的交点的直线方程
设：l1:A1x+B1y+C1=0 l2: A1x+B1y+C1=0
过两直线的交点的直线为,则
方程为: A1x+B1y+C1+（ A1x+B1y+C1）=0
例1．已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为，求直线方程。
解：设所求直线为7x+7y-24+ (x-y)=0,
变型为（7+）x+(7-)y-24=0
由点到直线距离公式得：d==,解得=1
故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。
2．过两圆的交点的圆系方程
设：O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
过两圆的交点的圆系方程为O,则O为
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+（ x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
同心圆的圆系方程
设：O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 其同心圆的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+=0
例2．求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5交点的圆的方程。
解：设方程为x2+y2-x+y-2+ ( x2+y2-5)=0，
变型为：
故圆心为（），代入直线方程得，，解得
所求为：x2+y2+2x-2y-11=0
3．过一圆和一直线的交点的圆系方程
设：O:x2+y2+Dx+Ey+F=0 :Ax+By+C=0
则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O为
(x2+y2+Dx+Ey+F)+（ Ax+By+C）=0
例3．求过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，圆心在y轴上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x2+y2-2x+（x+2y-3）=0变型为x2+y2-(2-)x+2y-3=0
圆心为（，-）因为圆心在y轴，故=2，所求圆的方程为x2+y2+4y-6=0
上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。
例4.已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：
，即
………………….①
依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得。
又满足方程①，则， 故
例5.求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为
，即
过直线与圆的交点的圆系方程为:，
即
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则。
代回圆系方程得所求圆方程: 下载本文
