题目：圆周率的由来、应用及历史作用

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引言            

1 圆周率的由来.........................................................4

  1.1  古希腊求值.......................................................5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

  1.2  古中国求值.......................................................5

  1.3  求值.......................................................5

  1.4  现代求值.........................................................6

2 圆周率的应用..........................................................6

  2.1  用圆周率来测试计算机性能...........................................6

  2.2  圆周率在C语言中的应用.............................................6

3 圆周率的历史作用....................................................10

  3.1  通过找出各种表达式..............................................10

  3.2  通过计算圆的面积和周长..........................................10

  3.3  用来进行一些函数的定义，积分的计算，指数的构成..................10 

引言

  众所周知，圆周率一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值．圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例．它是一个无理数，即是一个无限不循环小数．圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作．俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率好比这个“理”．有了圆周率不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性更为后续的数学研究奠定了基础．因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平．

    本文通过对圆周率各个时期由来的认识，深刻的理解到圆周率的历史价值，包括通过π找出各种表达式，通过计算圆的面积和周长，一些函数的定义，积分的计算，指数的构成等都要用到；还介绍了圆周率在测试计算机性能上的应用和圆周率在C语言上的应用，最后还详述了圆周率的历史作用。

1 圆周率的由来

    很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率.1600年,英国威廉.奥托兰特首先使用表示圆周率,因为是希腊之“圆周”的第一个字母,而δ是“直径”的第一个字母,当δ=1时,圆周率为.1706年英国的琼斯首先使用.1737年欧拉在其著作中使用.后来被数学家广泛接受,一直没用至今. 

    是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.”古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值（如图1所示）的计算方法. 

图1

1.1  古希腊求值

    公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出值的正确求法.他用圆外切与内接多边形的周长从大、小两个方向上同时逐步逼近圆的周长,巧妙地求得．

    公元前150年左右,另一位古希腊数学家托勒密用弦表法(以1 的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径)给出了的近似值3.1416. 

1.2  古中国求值

    公元200年间,我国数学家刘徽提供了求圆周率的科学方法----割圆术（如图2所示）,体现了极限观点.刘徽与阿基米德的方法有所不同,他只取“内接”不取“外切”.利用圆面积不等式推出结果,起到了事半功倍的效果.而后,祖冲之在圆周率的计算上取得了世界领先地位,求得“约率”和“密率”(又称祖率)得到3.1415926<<3.1415927.可惜,祖冲之的计算方法后来失传了.人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法,还是一个谜.

     正六边形           正十二边形        正二十四边形        正四十八边形

                                      图2

 1.3  求值

    15世纪,的数学家阿尔.卡西通过分别计算圆内接和外接正3 2 边形周长,把值推到小数点后16位,打破了祖冲之保持了上千年的记录.

1.4  现代求值

    本世纪50年代以后,圆周率的计算开始借助于电子计算机,从而出现了新的突破.目前有人宣称已经把计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字. 

人们试图从统计上获悉的各位数字是否有某种规律.竞争还在继续,正如有人所说,数学家探索中的进程也像这个数一样:永不循环,无止无休……

2 圆周率的应用

2.1  用圆周率来测试计算机性能

    它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性．这对计算机本身的改进至关重要．

    就在几年前，当公司推出奔腾时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行的计算而找到的．这正是超高精度的计算直到今天仍然有重要意义的原因之一． 

2.2  圆周率在C语言中的应用

2.2.1  简单技术公式计算圆周率—掌握C语言的循环

    C语言课程盗了循环章节，它的魅力就逐渐显现了出来，许多小程序和算法都可以让学生去尝试时限．而我们在高等数学泰勒公式章节学习的圆周率公式这个时候就派上了用场．

    中学时我们就已经知道：，从而，如果我们应用泰勒公式将展开，就可以得到

把代入，就得到

这个简单的公式就可以用循环实现来实现圆周率的近似计算（虽然它并不真正适用于计算圆周率），下面来分析一下．

    我们用C语言中的类型的变量来存放最终的结果，而上面公式中的n作循环变量再适合不过了，在实际编码中我们取从1变化到30000.由于类型本身的精度，其实也没有必要取太大的值．在循环中，每次增加2，而要注意类型转换和在循环累加中项的符号变化，这里为了清楚起见，我们增加了变量s，由它产生了正负符号的变化．下面来看代码：

该程序在VC++6.0中运行结果3.141559，达到预期要求．

作为C语言实验课课后练习，可尝试进行下面公式的算法实现：

这样锻炼了C语言能力，同时也加深了数学能力的培养，一举两得．

2.2.2  圆周率的概率算法—掌握C语言的函数

    随机模拟方法就是这样一种计算圆周率的方法．虽然这种方法并不能“非常好”的逼近圆周率，但是在其他领域，随机模拟具有非常大的作用．这种算法也称为蒙特卡洛算法．

    蒙特卡洛算法简单描述：在树枝积分法中，利用求单位圆的的面积来求得，从而得到．单位圆的面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分．只要求出扇形面积在正方形面积S中占的比例就立即能得到，从而得到的值．办法是在正方形中随机投入很多个点落在扇形内．将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比作为k的近似值．落在扇形内的充要条件是．

代码：

运行结果：π=3.126167

    由于没初始化随机种子，所以该寒暑在执行过程中并不具有“随机性”，由于在TC和在VC++6.0中初始化随机种子的函数并不相同，本程序为保持兼容性，未加入那些内容．

2.2.3  “外星人计算的程序？”—C语言阅读理解

    在网上流传很久的“精简”代码，如果你进入谷歌的主页，并且搜索“外星人计算的程序”这个词汇，很容易看到这样一个程序：

    该程序当然违背了C语言的代码规范，不过如果你运行它，你会惊奇的发现它得到了圆周率小数点后面800位数字．这段代码来自“国际C语言混乱代码大赛”（The International Obfuscated C Code Contest ）．

3 圆周率的历史作用

3.1  通过找出各种表达式

     1579年法国韦达发现了关系式，首次摆脱了几何学的陈旧方法，寻求到了的解析表达式．1650年瓦里斯把表示成无穷乘积，无穷连分数，无穷级数等各种值表达式纷纷出现，值计算精度也迅速增加．稍后，莱布尼茨发现接着欧拉证明了这些公式的计算量都很大．尽管形式非常简单，值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式．1706年英国数学家麦欣首先发现了其计算速度远远超过方典算法．

3.2  通过计算圆的面积和周长

    某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆，他取了每个圆的直径（将半径加倍）只是为了好玩．他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量．令人惊奇的是，不管圆的大小如何，圆周总是直径的3倍多一点．由于与圆的特殊关系，故数学家设计用来计算出圆的面积和周长的新方法．

例  已知一个圆形花坛的直径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，求这条小路的面积。（精确到0.1平方米） 

解  花坛半径是:（米）  

（平方米）

3.3  一些函数的定义，积分的计算，指数的构成等都要用到

    例如，1777年，法国数学家蒲丰研究投针问题，将一根长为l的的针任意投到画有间距为的平行线的平面上 ，他得到得结论是：该针与任一平行线相交的概率是，圆周率与随机现象产生了密切联系即在概率中也有作用．在数学中还有一个重要公式将圆周率与虚数单位联系起来．

随着数学的不断发展，π的应用不再局限于求圆的面积和周长，椭圆，萁舌线，旋轮线等面积公式中也都出现了π值。此外，一些函数的定义，积分的计算，指数的构成等都要用到π。例如，1777年，法国数学家蒲丰研究投针问题，将一根长为l的的针任意投到画有间距为a(a>l)的平行线的平面上 ，他得到得结论是：该针与任一平行线相交的概率是p=2l/aπ，圆周率与随机现象产生了密切联系即π在概率中也有作用。在数学中还有一个重要公式π=4log(1-i/1+i)^i/2将圆周率与虚数单位i联系起来。1740年，欧拉进一步得到关系式e^iπ+1=0，将数学中5个重要的数学最重要的两个运算符号统一在一个公式中，令人拍案叫绝！在数论中，法国人沙特尔1904年得到一个定理：任一写下两个整数，则它们互素的概率是6、π，一个简单的圆周率π几乎无所不在。

背诵圆周率能够锻炼人的记忆力，我国桥梁专家茅以升年轻时就能背诵圆周率锻炼记忆力。晚年时仍能轻松地背出圆周率的100位数值。

可见圆周率π不仅与我们身边的数学紧密相连更与我们的生活息息相关。俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率π就好比这个“理”。有了圆周率π不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性更为后续的数学研究奠定了基础。下载本文