相似三角形判定和性质

一、选择题

1. （2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形有（　　）

A、1对     B、2对    C、3对     D、4对

考点：相似三角形的判定．

专题：证明题．

分析：根据题目提供的相等的角和图形中隐含的相等的角，利用两对应角对应相等的两三角形相似找到相似三角形即可．

解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，

∴△PCF∽△BCP

△APG∽△BFP

△APD∽△GPD

故选B．

点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．

2. （2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（　　）

    A．①与②相似        B．①与③相似     C．①与④相似        D．②与③相似

考点：相似三角形的判定。

分析：由OA：OC﹣=0B：OD，利用对顶角相等相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求．

解答：证明：∵OA：OC=0B：OD，

∠AOB=∠COD（对顶角相等），

∴①与③相似．

故选B．

点评：本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题．

3. （2011山西，11，2分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，则AC的长为（      ）

A．       B．          C．            D． 

考点：三角形中位线，相似三角形的相似比

专题：相似三角形

分析：由题意知DE是等腰△ABC的中位线，所以DE∥BC，DE＝BC， 因为DE＝2㎝，所以BC＝4㎝．又DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC，且相似比为．过点A作AM⊥BC于点M．则MC＝2㎝， 由点E是边AC的中点，EF∥AM，所以FC＝1㎝．在△EFC中， 因为正方形DEFG的边长是2㎝，所以根据勾股定理得EC＝，所以AC＝ ， 故选D．

解答：D

点评：此题是三角形中位线， 等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用．过点A作AM⊥BC于点M，构造等腰三角形的高学生不易想到．

4. （2011陕西，9，3分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD 边上的点，连接BE、AF，他们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（     ）

A．2对           B．3对           C．4对           D．5对

考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。

专题：证明题。

分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，对各个三角形逐一分析即可．

解答：解：∵在□ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，∴△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△AGB，△AEB∽△HBC，共4对．

故选C．

点评：此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．

5. （2011，15，4分）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（　　）

    A．4.5        B．5      C．5.5        D．6

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。

专题：数形结合。

分析：先根据题意画出示意图，根据轴对称的性质可以得出一些线段的长度，进而根据相似三角形的性质可解得BF的长．

解答：解：由题意得：EE'＝EC＝AD＝3，

∴BE'＝BC－E'E－EC＝3，

∴AB＝＝10， 

又∵△BE'F∽△BEA，

∴，

∴BF＝5．

故选B．

点评：本题考查勾股定理及梯形的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握翻折后的对应线段相等，另外还要注意掌握相似三角形的对应边成比例的应用．

6.（2011，26，4分）如图为一△ABC，其中D．E两点分别在AB．AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32．若∠A＝50°，则图中∠1．∠2．∠3．∠4的大小关系，下列何者正确？（　　）

    A．∠1＞∠3        B．∠2＝∠4     C．∠1＞∠4        D．∠2＝∠3

考点：相似三角形的判定与性质。

分析：本题需先根据已知条件得出AD与AC的比值，AE与AB的比值，从而得出△ADE与△ACB相似，最后即可求出结果．

解答：解：∵AD＝31，BD＝29，

AE＝30，EC＝32，

∴AB＝31＋29＝60，

AC＝30＋32＝62，

∴，

，

∴，

∴∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴∠2＝∠3．

故选D．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在解题时要注意找出题中的等量关系，证出三角形相似是解题的关键．

7. （2011，33，4分）如图，为一个四边形ABCD，其中AC与BD交于E点，且两灰色区域的面积相等．若AD＝11，BC＝10，则下列关系何者正确（　　）

    A．∠DAE＜∠BCE        B．∠DAE＞∠BCE      C．BE＞DE        D．BE＜DE

考点：相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；三角形的面积。

分析：首先作辅助线：过点A与D分别作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，即可得AM∥DN，又由两灰色区域的面积相等，易得AM＝DN，即可证得四边形AMND是平行四边形，可证得：△ADE∽△CBE，根据相似三角形的性质即可求得答案．

解答：                              

解：过点A与D分别作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，

∴AM∥DN，

∵S△ABE＝S△DEC，

∴S△ABC＝S△DBC，

∵S△ABC＝•BC•AM，S△DBC＝•BC•DN，

∴AM＝DN，

∴四边形AMND是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴△ADE∽△CBE，

∴，

∵AD＝11，BC＝10，

∴BE＜DE．

故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题时要注意数形结合思想的应用．

8. （2011乌鲁木齐，10，4）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（　　）

    A、        B、        C、        D、1

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

分析：根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得ABP∽△PCD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD的长．

解答：解：∵∠APC＝∠ABP＋∠BAP＝60＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD＝60＋∠CPD，

∴∠BAP＝∠CPD．又∵∠ABP＝∠PCD＝60，∴ABP∽△PCD．

∴，即．∴CD＝．

故选B．

点评：本题主要考查了相似三角形的相似的判定以及应用，正确证得两个三角形相似是解题的关键．

9.（2011重庆江津区，8，4分）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）

    A、都相似        B、都不相似      C、只有（1）相似        D、只有（2）相似

考点：相似三角形的判定。

分析：图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；

图（2）根据图形中的已知条件，即可证得，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．

解答：解：如图（1）∵∠A＝35°，∠B＝75°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，

∵∠E＝75°，∠F＝70°，

∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，

∴△ABC∽△DEF；

如图（2）∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，

∴，

∵∠AOC＝∠DOB，

∴△AOC∽△DOB．

故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定．注意有两角对应相等的三角形相似与对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似的定理的应用．

10. （2011重庆綦江，4，4分）若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

    A．1：3        B．1：9        C．3：1        D．1： 

考点：相似三角形的性质。

专题：计算题。

分析：由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．

解答：解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．

故选B．

点评：本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．

11. （2011重庆市，5，4分）若△ABC～△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为

A．2：1    B．1  ：2    　 C．4：1       D．1：4

考点：相似三角形的性质．

分析：由△ABC∽△DEF与它们的面积比为4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比．

答案：解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，

∴△ABC与△DEF的相似比为2：1．

故选A．

点评：本题考查了相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．

12. （2010•沈阳）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（　　）

    A、9        B、12

    C、15        D、18

考点：等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC；

∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；

∴∠BAD+∠ADB=120°

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°，

∴∠DAB=∠EDC，

又∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△DCE；

∴，即；

解得AB=9．

故选A．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．

13. （2011，省，7,5分）如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标为何？（　　）

    A、（0，）        B、（0，）

    C、（0，5）        D、（0，6）

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质。

分析：因为D点在y轴上，所以横坐标为0．因此只需求OD的长度即可．根据 AB∥CD可得△AOB∽△COD，根据对应边成比例求解．

解答：解：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△COD．

∴AO：CO=BO：DO，

即：=：DO

DO=×，

∴DO=5，

∴D点坐标（0，5）．

故选C．

点评：此题考查相似三角形的判定和性质，亮点在于把几何与代数有机地结合起来，难度不大．

14. （2011泰安，15，3分）如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（　　）

    A．         B．         C．         D． 

考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。

分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，

∴，故A正确；    

∴，

∴，故B正确；

∴，故C错误；

∴，

∴，故D正确．

故选C．

点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．

15. （2011泰安，17，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为（　　）

    A．16        B．17       C．18        D．19

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。

专题：计算题。

分析：由图可得，S1的边长为3，由AC＝BC，BC＝CE＝CD，可得AC＝2CD，CD＝2，EC＝；然后，分别算出S1．S2的面积，即可解答；

解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC＝BC，BC＝CE＝CD，

∴AC＝2CD，CD＝＝2，

∴EC2＝22＋22，即EC＝；

∴S2的面积为＝8；

∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9，

∴S1＋S2＝8＋9＝17．

故选B．

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

16. （2011年山东省威海市，3，3分）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（　　）

A、1：2     B、1：3       C、2：3       D、2：5

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

专题：证明题．

分析：根据四边形ABCD是平行四边，求证△AEF∽△△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边，

∴△AEF∽△△BCF，

∴，

∵点E为AD的中点，

∴，

故选A．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题．

17. （2011山东省潍坊， 3，3分）如图，△ABC中．BC=2．DE是它的中位线．下面三个结论：（1）DE=1；(2)△ADE∽△ABC；(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为l：4．其中正确的有(    )．

A．0个  B．1个   C．2个   D．3个

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【专题】几何综合题．

【分析】本题需先根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．

【解答】解：（1）∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，

∴DE= 

= 

=1

故本选项正确；

（2）∵△ABC中，DE是它的中位线

∴DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

故本选项正确；

（3）∵△ADE∽△ABC，相似比为1：2

∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．

故本选项正确

故选D．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意与三角形的中位线的性质相结合是本题的关键．

18. （2011四川达州，5，3分）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）

    A、s△AFD=2s△EFB                B、BF=DF

    C、四边形AECD是等腰梯形        D、∠AEB=∠ADC

考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．

解答：解：A、∵AD∥BC

∴△AFD∽△EFB

∴

∴s△AFD=2s△ABF，s△ABF=2s△EFB，

故s△AFD=4s△EFB；

B、利用平行四边形的性质可知正确．

C、由∠AEC=∠DCE可知正确．

D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．

故选A．

点评：解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．

19. （2011，四川乐山，,7,3分）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A'B'C'平移的距离为（　　）

    A.6cm        B.4cm      C.（6﹣）cm        D.（）cm

考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；平移的性质；旋转的性质。

专题：计算题。

分析：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，则三角板A'B'C'平移的距离为B′D的长，根据AB′=AC﹣B′C，∠A=30°，在Rt△AB′D中，解直角三角形求B′D即可．

解答：解：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，

∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，

∴BC=AB=6，AC=AB•sin30°=6，

由旋转的性质可知B′C=BC=6，

∴AB′=AC﹣B′C=6﹣6，

在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，

∴B′D=AB′•tan30°=（6﹣6）×=（6﹣2）cm．

故选C．

点评：本题考查了旋转的性质，30°直角三角形的性质，平移的问题．关键是找出表示平移长度的线段，把问题集中在小直角三角形中求解．

20．（2011，四川乐山，9，3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④．其中正确的序号是（　　）

    A.①②③        B.②③④     C.①③④        D.①②④

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。

专题：证明题。

分析：①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论；

②由①求证△CGF∽BCF．利用其对应边成比例即可求得结论；

③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论，

④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．

解答：证明：①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点， 

∴Rt△ABE≌Rt△BCF，

∴∠BEA=∠CFB，

∵CG∥AE，

∴∠GCB=∠AEB

∴∠CFG=∠GCB，

∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，

∴CG∥AE交BF于点G，

∴△BHE也为直角三角形，

∴tan∠HBE=cot∠HEB；

∴①正确．

②由①可得△CGF∽BCF， 

∴，

∴CG•BF=BC•CF，

∴②正确；

③由①得△BHE≌△CGF，

∴BH=CG，而不是BH=FG

∴③BH=FG错误；

④∵△BCG∽△BCF，

∴，即BC2=BG•BF，

同理CF2=BF•GF，

∴，

∴④正确，综上所述，正确的有①②④．

故选D．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，步骤繁琐，有一定的拔高难度，属于中档题．.

21. （2011四川攀枝花，10，3分）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论：①△AOB≌△COB；②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；⑤当x=时，△PQR与△CBO一定相似．正确的共有（　　）

    A、2条        B、3条            C、4条        D、5条

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定。

分析：根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．

解答：解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，∴△AOB≌△COB；

故此选项正确；②∵AE∥BC，∴∠AQO=∠OCP，∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；故此选项正确；③当x=5时，∴BP=PC=5，∵AQ=PC，∴AQ=PB=5，∵AQ∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形；故此选项正确；④当x=0或x=10时，∠ABR≠∠COB，∴△PQR不可能相似△CBO；故此选项错误；⑤当x=时，∵BC=8，CO=6，∴BO=8，∵BP=2.8，∴PC=7.2， BC×AR′=BO×AC，∴AR′=QR=9.6，∴QR：BO=PC：CO=1.2，∴△PQR与△CBO一定相似．故此选项正确．故正确的有4条，故选：C．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质和全等三角形的判定等知识，灵活应用相关知识，此题有利用提高自身综合应用能力．

22.（2011四川遂宁，9，4分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，下列选项正确的是（　　）

    A、DE：BC=1：2                  B、AE：AC=1：3

    C、BD：AB=1：3                  D、S△ADE：S△ABC=1：4

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，再由AD：DB=1：2，推出AD：AB=1：3，据此求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC，从而得出正确选项．

解答：解：已知AD：DB=1：2，

∴AD：AB=1：3，BD：AB=2：3，

∵△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3，

S△ADE：S△ABC=（1：3）2=1：9，

所以只有B、AE：AC=1：3正确，故选：B．

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知先得到AD：AB=1：3和△ADE∽△ABC，再求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC．

23. （2011四川遂宁，10，4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中：①AC•BC=AB•CD，②AC2=AD•DB，③BC2=BD•BA，④CD2=AD•DB．正确的个数是（　　）

    A、1个        B、2个            C、3个        D、4个

考点：相似三角形的判定与性质。

分析：由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，

∵∠A=∠A，∠B=∠B，

∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，

∴，，

∴AC•AB=BC•CD，故①错误； BC2=BD•BA，故③正确；

∴△ACD∽△CBD，

∴，，

∴AC2=AD•DB，CD2=AD•DB，故②④正确．下列说法中正确的个数是3个．故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．

24. （2011.四川雅安，9,3分）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（　　）

    A.△ADE∽△ABC        B.S△ABF=S△AFC       C.         D.DF=EF

考点：三角形中位线定理；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据三角形的中位线定理，可得出DE∥BC，DE=BC，再根据三角形的面积公式，△ADE与△AFC等底同高，从而得出答案．

解答：解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

S△ADE=S△ABC，

∴S△ABF=S△AFC，

故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理以及三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．

25.(2011四川雅安9，3分)如图，D．E．F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（   ）

A  △ADE∽△ABC   B    C     D  DF=EF

考点：三角形中位线定理；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据三角形的中位线定理，可得出DE∥BC，DE=BC，再根据三角形的面积公式，△ADE与△AFC等底同高，从而得出答案．

解答：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

S△ADE=S△ABC，

∴S△ABF=S△AFC，

故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理以及三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．

26. （2011北京，4，4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（　　）

    A．         B．                C．            D．

考点：相似三角形的判定与性质；梯形。

专题：证明题。

分析：根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．

解答：解：∵四边形ABCD是梯形，

∴AD∥CB，

∴△AOD∽△COB，

∴,

∵AD=1，BC=3．

∴．

故选B．

点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．

27. （2011福建厦门，7，3分）如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（　　）

    A、2m        B、4m

    C、4.5m        D、8m

考点：相似三角形的应用。

分析：栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题．

解答：解：设长臂端点升高x米，

则，

∴x=4．

故选：B．

点评：此题是相似三角形在实际生活中的运用，比较简单．

28. （2011福建省漳州市，10,3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（　　）

    A、0.6m        B、1.2m

    C、1.3m        D、1.4m

考点：相似三角形的应用。

分析：利用平行得出三角形相似，运用相似比即可解答．

解答：解：∵AB∥DE，

∴，

∴，

∴h=1.4m．

故选：D．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定，根据已知得出是解决问题的关键．

29. （2011天水，10，4）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（　　）

    A、6        B、4

    C、2        D、1

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。

分析：由矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．根据矩形与折叠的性质，即可得在第三个图中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，即可得△ABF∽△ECF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长．

解答：解：由四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6．

根据题意得：BD=AB﹣AD=8﹣6=2，四边形BDEC是矩形，

∴EC=BD=2，

∴在第三个图中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，

∴△ABF∽△ECF，

∴,

设CF=x，则BF=6﹣x，

∴,

解得：x=2，

∴CF=2．

故选C．

点评：此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

30. （2011广东深圳，12，3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（　　）

A、：l       B、：l     C、5：3       D、不确定

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值．

解答：解：连接OA、OD，

∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，

∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，

∴OD：OE=OA：OB=：1，

∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB，

∴△DOA∽△EOB，

∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．

故选A．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．

31.（2011•丹东，3，3分）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（　　）

    A、1.25m        B、10m

    C、20m        D、8m

考点：相似三角形的应用。

专题：计算题。

分析：设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．

解答：解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，

解得x=20（m）．

即该旗杆的高度是20m．

故选C．

点评：本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．

32. （2011•铜仁地区10,3分）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（　　）

    A、        B、 C、D、

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：在△ADE和△ACB中，由∠AED=∠B，可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，得，从而可选出答案．

解答：解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴．

故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，两角相等，两三角形相似．

33. （2011贵州遵义，10，3分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝900）,放

置边长分别3,4,的三个正方形，则x的值为

A. 5            B. 6   

C. 7            D. 12

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．

【解答】解：∵在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，

∴△CEF∽△OME∽△PFN，

∴OE：PN=OM：PF，

∵EF=x，MO=3，PN=4，

∴OE=x-3，PF=x-4，

∴（x-3）（x-4）=12，

∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．

故选C．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．

34. （2011海南，1，3分）如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（　　）

    A．1对        B．2对        C．3对        D．4对

考点：相似三角形的判定。

专题：常规题型。

分析：根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．

解答：解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴△ABC∽△ACD，

△ACD∽△CBD，

△ABC∽△CBD，

所以有三对相似三角形．

故选C．

点评：本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．

35. （2011河北，9，3分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB．AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

    A．        B．2       C．3        D．4

考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．

解答：解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，

∴∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，

∴△ACB∽△AED，

又A′为CE的中点，

∴，

即，

∴ED＝2．

故选B．

点评：本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．

36. （2011黑龙江鸡西，8，3分）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （    ） 

A .3         B .2      C.      D .3

第8题图      

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质.

分析：根据圆周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．

解答：解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=∠D，

∵∠BAD=∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴，∴AB2=3×7=21，∴AB=．

故选C．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABD∽△AEB是解决问题的关键．

37. （2011浙江绍兴，10，4分）从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：

在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，求n的值．

你解答这个题目得到的n值为（　　）

    A．4﹣2        B．2﹣4    C．        D．

考点：相似三角形的判定与性质；实数与数轴；坐标与图形性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质。

专题：探究型。

分析：先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=求出GF的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论．

解答：解：∵AB=3，△PDE是等边三角形，

∴PD=PE=DE=1，

∵△PDE关于y轴对称，

∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，

∴PF=，

∴△PFG∽△PON，

∵m=，

∴FM=﹣，

∴，即,

解得ON=4﹣2．

故选A．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FG的长是解答此题的关键．

38. （2011湖州，9，3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（　　）

A.                      B.1                    C.2                   D.3

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.

专题：计算题.

分析：连接OD，设⊙O的半径为r，可证得△COD∽△CAE，则，从而得出CD：DE的值．

解答：解：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，BC=OB，∴OA=OB=BC，

∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE.∵AE⊥CE，∴OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴，∴．故选C． 

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．

39. （2011浙江嘉兴，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

    A．        B．          C．          D．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．

分析：根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DF=，再利用梯形的面积公式求出．

解答：解：作DF⊥BC，

∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE=2，BD=2，∴DF=，

∴则四边形BCED的面积为：DF×（DE+BC）=×（2+4）=3．故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形中位线的性质，得出根据DE为中位线，得出DF=是解决问题的关键．

40. （2011浙江台州，5，4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）

    A．1：2          B．1：4          C．1：5        D．1：16

考点：相似三角形的性质．

分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．

解答：解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选A．

点评：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．

41 （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：

①CE＝BD；        ②△ADC是等腰直角三角形；

③∠ADB＝∠AEB；  ④CD•AE＝EF•CG；

一定正确的结论有（　　）

    A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。

专题：几何图形问题。

分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE＝BD，

②利用平行四边形的性质可得AE＝CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB＝∠AEB；

④利用得出∠GFD＝∠AFE，以及∠GDF＋∠GFD＝90°，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．

解答：解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，

即：∠BAD＝∠CAE，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AE＝AD，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE＝BD，

∴故①正确；

②∵四边形ACDE是平行四边形，

∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD，

∵△ADE都是等腰直角三角形，

∴AE＝AD，

∴AD＝CD，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴②正确；

③∵△ADC是等腰直角三角形，

∴∠CAD＝45°，

∴∠BAD＝90°＋45°＝135°，

∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，

∴∠BAE＝360°－90°－90°－45°＝135°，

又AB＝AB，AD＝AE，

∴△BAE≌△BAD（SAS），

∴∠ADB＝∠AEB；

故③正确；

④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，

∴△CAE≌△BAE，

∴∠BEA＝∠AEC＝∠BDA，

∵∠AEF＋∠AFE＝90°，

∴∠AFE＋∠BEA＝90°，

∵∠GFD＝∠AFE，

∴∠GDF＋∠GFD＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，

∴△CGD∽△EAF，

∴，

∴CD•AE＝EF•CG．

故④正确，

故正确的有4个．

故选D．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键．

二、填空题

1. （2011江苏苏州，17，3分）如图，巳知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_________（结果保留根号）．

考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质．

专题：计算题．

分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．

解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，

∴，

∵AB=2AD，S△ABC=，

∴S△ADE=，

在△EAD中，连接HF，则∠AFH=45°，∠EFH=30°，

设AH=HF=x，则EH=xtan30°= x．

又∵S△ADE=，

∴AE=1，

∴x+ x=1，

解得x=．

∴S△AEF=×1×=．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．

2. （2011内蒙古呼和浩特，16，3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_______ 

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形．

分析：首先延长BA与CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC与△BCE≌△FCE，然后S△FAD=x，即可求得S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四边形AECD=7x，又由四边形AECD的面积为1，即可求得梯形ABCD的面积．

解答：解：延长BA与CD，交于F，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∵CE是∠BCD的平分线，

∴∠BCE=∠FCE，∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°，∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA），

∴BE=EF，∵BE=2AE，∴BF=4AF，设S△FAD=x，

∴S△FBC=16x，∴S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x，∵四边形AECD的面积为1，

∴7x=1，∴x=，∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x=．

故答案为：．

点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

3. （2011•宁夏，15，3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA=2：3，DE=4，则AB的长为　10　•

考点：相似三角形的判定与性质。

分析：根据平行即可证得△CDE∽△CAB，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得AB的长．

解答：解：∵DE∥AB

∴△CDE∽△CAB

∴=

又∵CD：DA=2：3，

∴=

∴=

解得：AB=•DE=10

故答案是：10．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，正确证得相似，以及根据比例的变化求得相似三角形的相似比是解题的关键．

4. （2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=　2　时，四边形ABCN的面积最大．

考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：应用题。

分析：设BM=x，则MC=﹣4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．

解答：解：设BM=x，则MC=﹣4x，

∵∠AMN=90°，

∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，

∴△ABM∽△MCN，则，即，

解得CN=，

∴S四边形ABCN=×4×[4+]=﹣x2+2x+8，

∵﹣＜0，

∴当x==2时，S四边形ABCN最大．

故答案为：2．

点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．

5. （2011四川凉山，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是             .

    考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．

    专题：几何图形问题；分类讨论．

    分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．

    解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，

如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，

∴△MAE∽△MCB，∴；

如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，

∴△MAE∽△MCB，∴．

∴的值是或．

故答案为：或．

    点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．

6.（2010重庆，12，4分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积比为                 ．

考点：相似三角形的判定与性质

分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案．

解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为AD：AB=1：3，∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9．故答案为：1：9．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似比性质得出面积比是解决问题的关键

7. （2011湖北咸宁，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，

，点E在AB边上，且CE平分，DE平分

，则点E到CD的距离为      ．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。

分析：首先由过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在Rt△DHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离．

解答：解：过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠A=∠B=90°

∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，

∴AE=EF，BE=EF，

∴EF=AE=BE=AB，

∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，

∴DF=AD=2，CF=CB=4，

∴CD=6，

∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，

∴∠A=∠B=∠BHD=90°，

∴四边形ABHD是矩形，

∴DH=AB，BH=AD=2，

∴CH=BC﹣BH=2，

在Rt△DHC中，DH=4，

∴EF=2．

∴点E到CD的距离为2．

故答案为：2．

点评：此题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

8. （2011•青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　48　mm．

考点：相似三角形的应用。

分析：利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．

解答：解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴．

设ED=x，

∴PN=MN=ED=x，

，

∴x=48，

∴边长为48mm．

故答案为：48．

点评：此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比是解决问题的关键．

9.（2011•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是　3≤x≤4　．

考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

分析：根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．

解答：解：过BP中点以BP为直径作圆，

连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，

∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△OQC，

∴=，

∵AB=3，BC=4，

∴AC=5，

∵BP=x，

∴QO=x，CO=4﹣x，

∴=，

解得：x=3，

当P与C重合时，BP=4，

∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4，

故答案为：3≤x≤4．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键．

10 （2011浙江宁波，17，3）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝　8　．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质。

分析：做出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝6cm，DE＝2cm，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

解答：解：

延长ED到BC于M，延长AD到BC与N，做DF∥BC，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，

∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，

∵BE＝6cm，DE＝2cm，∴DM＝4，∵∠NDM＝30°，∴NM＝2，

∴BN＝4，∴BC＝8．

故答案为：8．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质，根据得出MN的长是解决问题的关键．

11 （2011湖州，14，4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是　   　．

考点：相似三角形的判定与性质.

专题：计算题.

分析：根据AD∥BC，求证△AOD∽△BOC，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．

解答：解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∵△AOD与△BOC的面积之比为1：9，∴，∵AD=1，∴BC=3．故答案为3．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用相似三角形面积的比等于相似比的平方．

12.（2011浙江台州，14，5分）点D．E分别在等边△ABC的边AB．BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1．EB1分别交边AC于点F．G．若∠ADF=80°，则∠CGE=　80°　．

考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

专题：操作型；数形结合．

分析：由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么所求角等于∠ADF的度数．

解答：解：由翻折可得∠B1=∠B=60°，

∴∠A=∠B1=60°，

∵∠AFD=∠GFB1，

∴△ADF∽△B1GF，

∴∠ADF=∠B1GF，

∵∠CGE=∠FGB1，

∴∠CGE=∠ADF=80°．

故答案为：80°

点评：本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．

13. （2011浙江舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

    A．2        B．3        C．4        D．6

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理。

专题：计算题。

分析：根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DF＝，再利用梯形的面积公式求出．

解答：解：作DF⊥BC，

∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，

∴DE＝2，BD＝2，

∴DF＝，

∴则四边形BCED的面积为： DF×（DE＋BC）＝×（2＋4）＝3．

故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形中位线的性质，得出根据DE为中位线，得出DF＝是解决问题的关键．

14.（2011清远，16，3分）如图，在□ABCD中，点E是CD中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1．则四边形ABCE的面积为　3　．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

专题：证明题.

分析：根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是是△ABF的中位线；然后根据SAS证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．

解答：解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；在△ABF和△CEF中，，∠F＝∠F（公共角），∴△ABF∽△CEF，∴S△ABF：S△CEF＝1：4；又∵△ECF的面积为1，

∴S△ABF＝4，∴S四边形ABCE＝S△ABF－S△CEF＝3．故答案是3．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求得△ABF与△CEF的相似比．

15. （2010广东，10，4分）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________． 

考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理

分析：先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．

解答：解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，

∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，

∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：=，故答案为：．

点评：本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．

16.（2011湖北黄石，13,3分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为　2：1　．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：几何图形问题。

分析：分别过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，再根据甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍可得出AE=2AF，再由平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC，进而可判断出△ABE∽△ADF，其相似比为2：1．

解答：解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，

∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，

∴AE=2AF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，AD=BC，

∵∠AEB=∠AFD=90°，

∴△ABE∽△ADF，

∴，即．

故答案为：2︰1．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

17. （2011黑龙江牡丹江，10，3分）在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为　6或12　．

考点：相似三角形的判定与性质。

分析：此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CE的长．

解答：解：如图①，当点D在边AB上时，

∵AB=6，AC=9，AD=2，

∴BD=AB﹣AD=6﹣2=4，

∵DE∥BC，

∴，

即：，

∴CE=6；

如图②，当点D在边AB的延长线上时，

∵AB=6，AC=9，AD=2，

∴BD=AB+AD=6+2=8，

∵DE∥BC，

∴，

即：，

∴CE=12；

∴CE的长为6或12．

故答案为：6或12．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意点D在边AB所在的直线上可以分为当点D在边AB上与当点D在边AB的延长线上，小心别漏解．

18.（2011•湖南张家界，16，3）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是　      　（写出一种情况即可）．

考点：相似三角形的判定。

专题：开放型。

分析：因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．

解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．

∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，

∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，

∵BC：EF=2：1．

∴△ABC∽△DEF．

故答案为：BC：EF=2：1．

点评：本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．

19.（2011•丹东，11，3分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有　3　对．

考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。

专题：证明题。

分析：根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AB∥CD，得△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEC．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DF∥BC，AB∥CD，

∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，

∴△ABF∽△CEC．

共3对．

故答案为3．

点评：本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．

20.（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△DPQ：S△ABC=　1：24　．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。

分析：连接PA，由题意可知2DE=BC；4DP=2DE=AB；推出S△ADE：S△ABC=1：4，由△DPQ∽△BCQ，推出4QD=QB，2QD=QA，因此S△DPQ：S△APQ=1：2，由于S△APD=S△APE，所以S△DPQ：S△ADE=1：6，即S△DPQ：S△ABC=1：24．

解答：解：∵DE是中位线，P是DE中点，

∴2DE=BC；4DP=2DE=AB，S△ADE：S△ABC=1：4，

∵DE∥BC，

∴△DPQ∽△BCQ，

∴4QD=QB，

∵D是AB中点，

∴2QD=QA，

∴S△DPQ：S△APQ=1：2，

∵S△APD=S△APE，

∴S△DPQ：S△ADE=1：6，

∴S△DPQ：S△ABC=1：24．

点评：本题主要考查了三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质、三角形中位线性质，解题的关键在于求出相关线段的比值，以此求出S△DPQ：S△APQ=1：2，

推出S△DPQ：S△ADE=1：6，因此S△DPQ：S△ABC=1：24．

21.（2011辽宁阜新,11,3分）如图，晚上小亮站在与路灯底部M相距3米的A处，测得此时小亮的影长AP为1米，已知小亮的身高是1.5米，那么路灯CM高为　       　米．

考点：相似三角形的应用。

分析：他的身影顶部正好接触路灯B的底部时，构成两个相似三角形，利用对应线段成比例解答此题．

解答：解：根据题意，设路灯高度为x米，

则，

解得x=6

故答案为6．．

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．

22.（2011•包头，19，3分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　①②　．

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．利用三角形的内角和即可得出②是正确的，不能证明③．

解答：证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，

∴∠DAC=∠BAC+60°，

∠BAE=∠BAC+60°，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=DC．

∴∠ADC=∠ABE，

∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，

∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°．

故答案为：①②．

点评：此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解与掌握，难度不大，是一道基础题．

23. （2011安徽省芜湖市，16,5分）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　80π﹣160　．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。

分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．

解答：解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AEM∽△CFM，

∴，

∵AE=6，EF=8，FC=10，

∴，

∴EM=3，FM=5，

在Rt△AEM中，AM==3，

在Rt△FCM中，CM==5，

∴AC=8，

在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8•=4，

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π•（）2=80π，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．

故答案为：80π﹣160．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

24. （2011福建厦门，16，4分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=　　　　　时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

考点：相似三角形的性质。

专题：网格型。

分析：首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解．

解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6，

∵∠A=∠A，

∴若△ADE∽△ABC时，，

即：，

解得：AE=2，

若△ADE∽△ACB时，，

即：，

解得：AE=，

∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

故答案为：2或．

点评：此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．

25. （2011天水，13，4）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是　___　．（精确到0.1m）

考点：相似三角形的应用。

分析：如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．

解答：解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，

又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，

∴△CED∽△AEB．

∴,

∴,

∴AB≈5.2米．

故答案为5.2．

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．

三、解答题

1. （2011•江苏宿迁，28，12）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．

（1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理。

专题：证明题。

分析：（1）根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC=CD，AE=AD求得AE=AC﹣AD即可．

（2）根据FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黄金三角形求证△AEG∽△FEA可得∠EAG=∠F=36°．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝，

得AC＝＝

∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝．

（2）∠EAG＝36°，理由如下：

∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

∴＝

∴△FAE是黄金三角形

∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

∵AE＝AG，FA＝FE

∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE

∴△AEG∽△FEA

∴∠EAG＝∠F＝36°．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．

2. （2011•泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。

专题：证明题；综合题。

分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；

（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．

解答：解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，

∴∠AFO=∠CFO，

∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，

∴∠AFO=∠CAB，

∵∠AOF=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△FOA．

（2）∵直线l垂直平分线段AC，

∴AF=CF，

可证△AOF≌△AOE，

∴AE=CF，FO=EO．

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴四边形AFCE是菱形．

点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．

3. （2011•江苏徐州，27，8）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；

（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。

分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得△DOE是等腰三角形；

（2）设D（,），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，△DOE∽△ABC．

解答：解：（1）△DOE是等腰三角形．

作DF⊥OE于F，

∵AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，

∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，

∴点F是OE的中点，

∴DF是OE的垂直平分线，

∴DO=DE，

∴DOE是等腰三角形．

（2）由题意得：D（,），

∵DO=DE，AB=AC，

∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，

在Rt△DOF中，tan∠DOF=，

由=tan30°=，得a =，

∴当a=时，△DOE∽△ABC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

4. （2011江苏扬州，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB0）

（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；

（2）若∠ABC=60º，AB=4厘米。

① 求动点Q的运动速度；

② 设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；

（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似；（2）①设BP=，根据△PBM∽△QNM，求得NQ的长，即Q一分钟移动的距离，即Q的速度；②分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．

解答：解：（1）相似．

证明：∵∠BMN=∠PMQ，

即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，

∴∠PMB=∠NMQ，

∵△ABC与△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，

∴∠B=∠MNC，

∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4厘米，

则：BC=8cm，AC=24cm．BM=4，

若BP=cm．MN=MC•tan30°=cm． NC=cm．

∵△PBM∽△QNM，∴=，即NQ=，则求动点Q的运动速度是每秒钟cm．

②AP=AB﹣BP=4﹣t，

AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=24﹣+t，

则△APQ的面积为S=AP•AQ=（4﹣t）（24﹣+t），

即S=（4﹣t）（24﹣+t）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的总和应用，利用时间t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．

5. （2011陕西，20，8分）一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：

①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；

②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线）．经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．

   根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）

考点：相似三角形的应用；圆锥的计算。

专题：几何图形问题。

分析：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，OS∥BC可得出△SOA∽△CBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答．

解答：解：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则∠O=∠ABC=90°，OS∥BC，

∴∠ACB=∠ASO，

∴△SOA∽△CBA，

∴=，∴OS=，∵OA=≈5.5，BC=1.6，A1.2，

∴OS=≈7.3，

∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．

故答案为：7.3米．

点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

6. （2011•广东汕头）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有　△HAB　及　△HGA　；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质。

专题：证明题。

分析：（1））根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．

（2））由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．

（3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知解得CG和②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案．

解答：解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；

故答案为：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，

∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，

∴y=81：x（0＜x＜），

答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x＜）．

（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：

①当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图（1）：

∵AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=AG，根据勾股定理得：AC2=CG2+AG2，

∴CG=AG=9；

②当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时如图（2）：由△HGA∽△HAB，

∵AG=AH，

∴∠AHG=∠AGH=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠BAH=180°﹣∠B﹣∠AHB=67.5°=∠AHG，

∴HB=AB=9，

同理AC=CG，

∴BG=HC，

可得：CG=x=9．

答：当x为=：2和9时，△AGH是等腰三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．

7. （2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．

（1）求证：△PQE∽△PMF；

（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；

（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。

分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余关系证明△PQE∽△PMF；

（2）相等．运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，∠B=60°，△BPQ为等边三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角对等边；

（3）由面积公式得S△PEM=PE×PF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解．

解答：证明：（1）∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，

∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，

又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，

∴∠EPQ=∠FPM，

∴△PQE∽△PMF；

（2）相等．

∵PB=BQ，∠B=60°，

∴△BPQ为等边三角形，

∴∠BQP=60°，

∵△PQE∽△PMF，

∴∠PMF=∠BQP=60°，

又∠A+∠APM=∠PMF，

∴∠APM=∠A=30°，

∴PM=MA；

（3）AB===20，BP=x，则AP=20﹣x，

PE=xcos30°=x，PF=（20﹣x）•，

S△PEM=PE×PF，

∴y=•x•

=（20x﹣x2）

=﹣（x﹣10）2+（0≤x≤10）．

∴当x=10时，函数的最大值为．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系

8. （2011•莱芜）已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．

探究：

（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；

（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB1和△B1DG的周长之比．

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：（1）根据ASA可以证明两个三角形全等；

（2）设CF=x，则BF=3﹣x，根据折叠的性质得B1F=BF=3﹣x，再进一步根据勾股定理求得x的值；根据相似三角形的判定可以证明△FCB1和△B1DG相似，再根据相似三角形的周长的比等于相似比进行求解．

解答：解：（1）全等．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，

由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，AB=A1D

∴∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，

∴∠A1DE=∠CDF，

∴△EDA1≌△EDC（ASA）；

（2）∵∠DG B1+∠D B1G=90°，∠D B1G+∠C B1F=90°，

∴∠DG B1=∠C B1F，

∵∠D=∠C=90°，

∴△FC B1∽△B1DG．

设FC=x，则B1F=BF=3﹣x，B1C=DC=1，

∴x2+12=（3﹣x）2，

∴x=，

∵△FC B1∽△B1DG，

∴．

点评：此题综合运用了全等三角形的判定、相似三角形的判定及性质，综合性较强．

9. （2011泰安，27，10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE．AC．

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；

（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

考点：相似三角形的判定；菱形的判定。

专题：证明题；数形结合。

分析：（1）由点E是BC的中点，BC＝2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；

（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE＝90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF＝GD＝GE＝DF，则可得四边形EFDG是菱形．

解答：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC＝2AD，

∴EC＝BE＝BC＝AD，

又∵AD∥DC，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE∥DC，

∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，

∴△AOE∽△COF；

（2）证明：连接DE，

∵DE平行且等于BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

又∠ABE＝90°，

∴□ABED是矩形，

∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE，

∴E．F分别是BC．CD的中点，

∴EF．GE是△CBD的两条中线，

∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF，

又GE＝GD，

∴EF＝GD＝GE＝DF，

∴四边形EFDG是菱形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

10. 如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求的长.

考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

专题：综合题．

分析：（1）连接EC，AD为△ABC的角平分线，得∠1＝∠2，又AD⊥BE，可证∠3＝∠4，由对顶角相等得∠4＝∠5，即∠3＝∠5，由E为弧CF的中点，得∠6＝∠7，由BC为直径得

∠E＝90°，即∠5＋∠6＝90°，由AD∥CE可证∠2＝∠6，从而有∠3＋∠7＝90°，证明结论；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC＝5，由∠3＝∠4得AM＝AB＝3，则CM＝AC－AM＝2，由（1）可证△CME∽△BCE，利用相似比可得EB＝2EC，在Rt△BCE中，根据BE2＋CE2＝BC2，得BE2＋（ ）2＝42，可求BE．

解答：（1）证明：连接EC，

 ∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2， 

∴∠3＝∠4 ∴∠4＝∠5＝∠3， 

又∵E为弧CF中点， ∴∠6＝∠7，

∵BC是直径， ∴∠E＝90°， ∴∠5＋∠6＝90°， 

又∵∠AHM＝∠E＝90°， ∴AD∥CE， 

∴∠2＝∠6＝∠1， ∴∠3＋∠7＝90°， 

又∵BC是直径， ∴AB是半圆O的切线； 

（2）∵，。

由（1）知，，∴.

在中，于，平分，

∴，∴.

由∽，得.

∴，

∴

点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．

11. （2011四川眉山，25，9分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．

（1）求证：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；

（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，

∴△CDP≌△ADP，

∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，

∴CD∥BA，CD=BA，

∴△CPD∽△FPB，

∴=，

∴CD=BF，CP=PF，

∴A为BF的中点，

又∵PA⊥BF，

∴PB=PF，

由（1）可知，PA=CP，

∴PA=PB，在Rt△PAB中， 

解得PB=，

则PD=，

∴BD=PB+PD=2．

点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用．关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题．

12. （2011年四川省绵阳市，24，12分）已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）求m的值；

（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；

（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；

（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，

∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，

解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），

当x=0时，y=1，得A（0，1）．

由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．

过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=．

同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=．

∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，

当x=0时，y=-3；

当y=0时，x=-1或x=3，

∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．

第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，

则，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，

则有3（x12-2x1-3）=x1+1，

整理得，3x12-7x1-10=0，解得，

x1=-1（舍）或．

把代入①中可解得，。

∴P1（，）．

第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．

同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，

则有x2=3（3+x22-2x2-3），

整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或．

把代入②中可解得，。

∴P2（，）．

综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）．

点评：本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．

25、（2011年四川省绵阳市，25，14分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求．的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．

专题：几何综合题．

分析：先设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=，AD=1-x．在直角三角形ABD中求得BD得平方，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x=，则解得；

（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；

（3）由以上两个问题，从的比值求得x的值，则求得的值．

解答：解：设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=，AD=1-x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1-x）2=x2-2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴，所以，

∴ 0＜x＜1，

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得．

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则，得，解得，

∴。

（3）若，则有3x2-10x+6=0，解得∈（0，1），

∴，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好问题．

13. （2011成都，20，10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

（1）若BK＝KC，求的值；

（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB．BC．CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE＝AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。

专题：计算题；几何动点问题。

分析：（1）由已知得，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用求值；

（2）AB＝BC＋CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB＝∠EBA＝∠GBE，则EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，利用EF＝EG＋GF求线段AB．BC．CD三者之间的数量关系；

当AE＝AD（n＞2）时，EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，EF＝EG＋GF可得BC＋CD＝（n－1）AB．

解答：解：（1）∵BK＝KC，∴， 

又∵CD∥AB，

∴△KCD∽△KBA，∴； 

（2）当BE平分∠ABC，AE＝AD时，AB＝BC＋CD．

证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，

由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，

又∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，

∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，

∵EF＝EG＋GF，∴AB＝BC＋CD；

当AE＝AD（n＞2）时，BC＋CD＝（n－1）AB． 

点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．

14. 2011•乐山）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．

题乙：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．

（1）求证：AC⊥BD；

（2）求△AOB的面积．

我选做的是　    　题．

考点：根与系数的关系；分式的化简求值；勾股定理的逆定理；梯形；相似三角形的判定与性质。

分析：乙：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，即可证得四边形ACED是平行四边形，则可求得BD，BE，DE的长，由勾股定理得逆定理即可证得BD⊥DE，则可证得BD⊥AC；

（2）首先作DF⊥BC，由S△DBC=BE•DF=BD•DE，即可求得DF的值，求得△ABC的面积，又由△AOD∽△COB，求得OA与OC的比值，根据同高的三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．

解答：解：

题乙：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴DE=BD，DE∥BD，CE=AD，

∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，

∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3，

∴BD2+DE2=BE2，

∴∠BDC=90°，

∴BD⊥DE，

∴BD⊥AC；

（2）过点D作DF⊥BC于F，

∵S△DBC=BE•DF=BD•DE，

∴DF=，

∴S△ABC=BC•DF=×3×=，

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴，

∴OA：AC=2：5，

∴S△AOB：S△ABC=2：5，

∴S△AOB=S△ABC=×=．

点评：此题考查了根与系数的关系，分式的化简以及梯形的性质，平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意仔细分析．

15. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形B0GC的面积=

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．

【分析】由点D、E分别是边AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE= BC，即可得△ADE∽△ABC与△ODE∽△OFB，又由EC的中点是G，则可得△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．

【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE= BC，

∴△ADE∽△ABC，∴，

∵△ADE的面积为S，

∴S△ABC=4S，

∵DE∥BC，

∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，

∴，

∵EG=CG，

∴△DEG≌△FCG（AAS），

∴DE=CF，

∴BF=3DE，

∴，

∵AD=BD，

∴S△BDE=S△ADE=S，

∵AE=CE=EG，∴，

∵，

∴，

∴S△OEG=S△DEG-S△ODE= S，

∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3S，

∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=3S-S- S= S．

故答案为：．

【点评】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质以及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比．

16.（2011•乐山）如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是　        　．证明：

（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是　           ．证明：

（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是　          ．（写出关系式，不必证明）

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理。

专题：证明题。

分析：本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．

解答：（1）图甲：连接DE，

∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时

∴AD=BD，∠ACD=45°，

∴CD=AD=AB，

∵AE=nEC，

∴DE=AE=EC=AC，

∴∠EDC=45°，DE⊥AC，

∵∠A=45°，

∴∠A=∠EDG，

∵EF⊥BE，

∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，

∴∠AEF=∠DEG，

∴△AEF≌△DEG（ASA），

∴EF=EG．

（2）解：EF=EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，

∵EM∥CD，

∴△AEM∽△ACD，

∴，

即EM=CD，

同理可得，EN=AD，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴tanA=，

∴，

又∵EM⊥AB，EN⊥CD，

∴∠EMF=∠ENG=90°，

∵EF⊥BE，

∴∠FEM=∠GEN，

∴△EFM∽△EGN，

∴，

即EF=EG；

（3）EF=EG．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解，难度较大．

17. （2011•南充，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．

（1）求证：△ABF∽△DFE

（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。

专题：应用题；证明题。

分析：（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABE∽△DFE，

（2）sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABE∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=∠C=90°，

∵△BCE沿BE折叠为△BFE，

∴∠BFE=∠C=90°，

∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，

又∠AFB+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠DFE，

∴△ABF∽△DFE，

（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，

∴设DE=a，EF=3a，DF==2a，

∵△BCE沿BE折叠为△BFE，

∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，

又由（1）△ABE∽△DFE，

∴===，

∴tan∠EBF==，

tan∠EBC=tan∠EBF=．

点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，难度适中．

18. （2011四川遂宁，22，9分）已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．

求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）CD2=AD•BE．

考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；（2）作辅助线（连接BC，延长AC交BE的延长线于M ）构建全等三角形△DAC≌△MCE，根据全等三角形的对应边相等知DC=EC；然后由相似三角形的判定定理AA判定△ADC∽△CEB，再由相似三角形的对应边成比例求得，即CD2=AD•BE．

解答：证明：（1）连接OC 

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠BAC

∴∠DAC=∠OAC

∴∠OCA=∠DAC 

∴AD∥OC

∵AD⊥CD

∴OC⊥CD 

∴CD是⊙的切线

（2）连接BC，延长AC交BE的延长线于M 

∵AD⊥DE     BE⊥DE

∴AD∥BE

∴∠M=∠DAC

∵∠DAC=∠BAM

∴∠BAM=∠M

∴BA=BM

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴AC=MC

又∵∠M=∠DAC∠D=∠CEM   AC=MC

∴△DAC≌△MCE

∴DC=EC 

（若用平行线分线段成比例定理证明，正确得分）

∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB

∴△ADC∽△CEB

∴

∴CE•CD=AD•BE

∴CD2=AD•BE

说明：本题还有其它证法，若正确合理得分．

点评：本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．判定一条直线是圆的切线的三种方法：（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．（3）根据切线的判定定理来判定．

19. （2011四川雅安，24,10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．

考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；

（2）连接AD构造直角三角形ACD，根据相似三角形的判定定理AA判定Rt△ACD∽Rt△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例得，；最后根据三角形中位线的判定与性质求得CD的长度，从而求得CE的长．

解答：解：（1）证明：连接OD．

∵OD=OB？（⊙O的半径），

∴∠B=∠ODB（等边对等角）；

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角）；

∴∠C=∠ODB（等量代换），

∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），

∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）；

∵DE⊥AC（已知），

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；

∴AD⊥CD；

在Rt△ACD和Rt△DCE中，

∠C=∠C（公共角），

∠CED=∠CDA=90°，

∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），

∴；

又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中点，

∴OD是三角形ABC的中位线，

∴CD=BC；

∵BC=8，AB=5，AB=AC，

∴CE=．

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解答（2）时，还可以利用射影定理来求CE的长度．

20. 已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC = ∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.

(1)求证：AC⊥BH

 (2)若∠ABC= 45°，⊙O的直径等于10，BD =8，求CE的长.

考点：圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

分析：（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；

（2）由∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG的长，连接AE由圆周角定理可得出EG⊥AC，进而得出△CEG∽△CAE，由相似三角形的性质即可得出结论．

答案：

23．证明：（1）连结AD                            

            ∵∠DAC = ∠DEC  ∠EBC = ∠DEC

            ∴∠DAC = ∠EBC                   

            又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90°     

              ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA = 90°

              ∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°

              ∴AC⊥BH                       

          （2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90°  ∠ABC = 45°  ∴∠BAD = 45°

               ∴BD = AD

               ∵BD = 8  ∴AD =8                

               又∵∠ADC = 90°    AC =10 

                 ∴由勾股定理 DC==  = 6

                 ∴BC=BD+DC=8+6=14             

                又∵∠BGC = ∠ADC = 90°    ∠BCG =∠ACD

                  ∴△BCG∽△ACD

                  ∴= 

                  ∴=   ∴CG =        

                  连结AE   ∵AC是直径  ∴∠AEC=90°    又因 EG⊥AC

                  ∴ △CEG∽△CAE   ∴=   ∴CE2=AC · CG =   10 = 84

                  ∴CE = = 2             

点评：本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

21. （2011杭州，22，10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

（1）求证：△FOE≌△DOC；

（2）求sin∠OEF的值；

（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．

专题：证明题；代数几何综合题．

分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；

（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；

（3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入中求值．

解答：解：（1）∵EF是△OAB的中位线，

∴EF∥AB，EF= AB，

而CD∥AB，CD=AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC；

（2）∵在Rt△ABC中，AC=，

∴sin∠OEF=sin∠CAB= ==；

（3）∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴，即EG= CD，

同理FH= CD，

∴．

点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．

22. （2011杭州，24，12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．

（1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例．

专题：计算题；几何图形问题．

分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．

（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得即可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围．

解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形．

∵EF∥BD，

∴△ABD∽△AEF，

∴，即

所以当时，．

（2）根据题意，得OE=OM．

如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，

①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM．

∵，

∴，

∴

由ML∥EK∥OB，

得∴，

即

∴，此时h1的取值范围为且

②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．

23. （2011浙江嘉兴，16，4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD．OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE•AB．其中正确结论的序号是　①④　．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；圆心角．弧．弦的关系；圆周角定理．

专题：证明题．

分析：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；

②不能证明CE=OE；

③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；

④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，

再求证△CED∽△COD，利用其对应变成比例即可得出结论．

解答：证明：①∵AB是半圆直径，

∴AO=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∴①正确．

②∵△CED与△AED不全等，

∴CE≠OE，

∴②错误．

③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，其它两角都不相等，

∴不能证明△ODE和△ADO全等，

∴③错误；

④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=×45°=22.5°，

∴∠COD=45°，

∵AB是半圆直径，

∴OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC=67.5°

∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），

∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣25°=45°，

∴△CED∽△COD，

∴，

∴CD2=OD•CE=AB•CE，

∴2CD2=CE•AB．

∴④正确．

综上所述，只有①④正确．

故答案为：①④．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角．弧．弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．

24. （2011浙江义乌，23，10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．

（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在　相似　关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP＝β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质。

专题：综合题。

分析：（1）通过证明∠PAE＝∠EBF，结合公共角证明即可；

（2）易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知；

（3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于x的函数关系式．

解答：解：（1）相似（1分）

由题意得：∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P，

则∠PAA1＝∠PBB1＝＝90°－，（2分）

∵∠PBB1＝∠EBF，

∴∠PAE＝∠EBF，

又∵∠BEF＝∠AEP，

∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）

易得：△BEF∽△AEP，

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE＝AE即可，（5分）

∴∠BAE＝∠ABE，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAE＝60°－（90°－）＝－30°，

∵∠ABE＝β，∠BAE＝∠ABE，（6分）

∴－30°＝β，

即α＝2β＋60°；（7分）

（3）连接BD，交A1B1于点G，

过点A1作A1H⊥AC于点H．

∵∠B1A1P＝∠A1PA＝60°，

∴A1B1∥AC，

由题意得：AP＝A1P，∠A＝60°，

∴△PAA1是等边三角形，

∴A1H＝（2＋x），（8分）

在Rt△ABD中，BD＝2，

∴BG＝2－（2＋x）＝－x ，（9分）

∴S△A1BB1＝×4×（－x）＝2－x（0≤x＜2）．（10分）

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．

25. （2010广东，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有     及    ；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质

分析：（1））根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．

（2））由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．

（3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知解得CG和②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案．

解答：解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；

故答案为：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，

∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，

∴y=81：x（0＜x＜）

答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x＜）

（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：

①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知CG=x=

②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB

知：HB=AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18﹣．

答：当x为=和18﹣．时，△AGH是等腰三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．

26. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，20，8分）如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.

（1）求证：△ABD∽△AEB；

（2）若AD=1，DE=3，求BD的长. 

  考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．

  分析：（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；

（2）由（1）的结论就可以推出AB的长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．

  答案：20.（1）证明：∵AB=AC， ∴. ∴∠ABC=∠ADB.    

又∠BAE=∠DAB，∴ △ABD∽△AEB. 

（2）解：∵△ABD∽△AEB，    ∴.

∵ AD=1， DE=3，  ∴AE=4.    ∴ AB2=AD·AE=1×4=4.

∴ AB=2. 

∵ BD是⊙O的直径，  ∴∠DAB=90°.

在Rt△ABD中，BD2=AB2＋AD2=22＋12=5，

∴BD=. 

  点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题的关键在于找到∠ABC=∠ADB，求证三角形相似．

27. (2011襄阳，25，10分)如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：∠ADP＝∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。

分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；

（2）首先证得△PAD≌△EGP，可以证得△BCG是等腰直角三角形，可以证得∠EBG＝45°，即可证得∠CBE＝45°；

（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．

解答：证明：(1)∵四边形ABCD是正方形．

∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，

∴∠ADP＋∠APD＝90°，

∵∠DPE＝90°，

∴∠APD＋∠EPB＝90°，

∴∠ADP＝∠EPB；

（2）

过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°，

又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，

∴△PAD≌△EGP，

∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，

∴AP＝EG＝BG，

∴∠CBE＝∠EBG＝45°；

（3）当＝时，△PFD∽△BFP，

设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝a，

∴BF＝BP•＝a．

∴PD＝＝a，PF＝＝a，

∴＝

又∠DPF＝∠PBF＝90°，

∴△PFD∽△BFP．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．

28. （2011湖北武汉，24，10分）（1）如图1，在△ABC中，点D．E．Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证： =；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DM•EN．

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；

（2）①直接得出答案即可；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．

解答：（1）证明：在△ABQ和△ADP中，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴=，

同理在△ACQ和△ADP中，

=，

∴=；

（2）；

（3）证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴=，

∴DG•EF=CF•BG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CF•BG，

由（1）得==，

∴（）2=•=•，

∵BG=GF=C，

∴MN2=DM•EN．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．

29.（2011湖南怀化,21,10分）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．

（1）求证：＝；

（2）求这个矩形EFGH的周长．

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质。

分析：（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；

（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．

解答：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴＝；

（2）解：由（1）＝得：设HE=x，则HG=2x，AM=AD﹣DM=AD﹣HE=30﹣x，

可得＝，

解得，x=12，

2x=24

所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72cm．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．

30. 如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．

（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2

（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．

探究：FD+DG= DB．请予证明．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质．

【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；

（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．

【解答】证明：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，

∴∠B=∠D，

∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，

∴BF=DF，

∵∠HFG=∠B，

∴∠GFD=∠BHF，

∴△BFH∽△DGF，

∴，

∴BH•GD=BF2；

（2）证明：∵AG∥CE，

∴∠FAG∥∠C，

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠AGF=∠CFE，

∴AF=AG，

∵∠BAD=∠C，

∴∠BAF=∠DAG，

△ABF≌△ADG，

∴FB=DG，

∴FD+DG=BD，

故答案为：BD．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠DAG是解决问题的关键．

31. （2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。

  ①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

  ②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．

分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；

（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可  为定值2．

解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F， 

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

∠ADO=  ∠ADC=  ×60°=30°，

又∵E、F分别为DC、CB中点，

∴OE=  CD，OF=  BC，AO=  AD，

∴0E=OF=OA，

∴点O即为△AEF的外心．

（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．

证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

∴∠PIE=∠PJD=90°，

∵∠ADC=60°，

∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，

∵点P是等边△AEF的外心，

∴∠EPA=120°，PE=PA，

∴∠IPJ=∠EPA，

∴∠IPE=∠JPA，

∴△PIE≌△PJA，

∴PI=PJ，

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

②  为定值2．

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）

可得点P即为△AEF的外心．

如图3．设MN交BC于点G，

设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，

∵BC∥DA，

∴△GBP∽△MDP．

∴BG=DM=x．

∴CG=1-x

∵BC∥DA，

∴△GBP∽△NDM，

∴  ，

∴  ，

∴x+y=2xy，

∴  +  =2，

即  =2

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应

32. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.

分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；

解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，

设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，

∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，

∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），

∴△ABF的周长为14+10=24cm；

（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，∴=，∴AE2=AO•AP，

∵四边形AECF是菱形，∴AO=AC，∴AE2=AC•AP，∴2AE2=AC•AP．

点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．

33.（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质．

专题：证明题．

分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；

（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；

（3）由（2）的结论得==2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；

（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．　（1分）

∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，

∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，

∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，

即∠BAE=∠BCD．（2分）

在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，

∴△ABE≌△CBD．（3分）

（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．

证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，

∴△ANB∽△CND．（5分）

其相似比为： ==2；（6分）

（3）由（2）得==2，

∴CN=AN=AC，（8分）

同理AM=AC，

∴AM=MN=NC．（9分）

（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，

∵∠BCD=120°，

∴∠DCF=60°．（1O分）

在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，

∴CF=CD=，

∴DF===；　（11分）

在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+=，DF=，

∴BD===．（12分）

点评：本题考查了相似三角形．全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用．关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题．

34.（2011•江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：

定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在　  　个、　  　个、　  　个大小不同的内接正方形．

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．

任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：（1）分别画一下即可得出答案；

（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．

（3）先判断，再举一个例子：设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．

解答：解：（1）1，2，3．（3分）

（2）乙同学的结果不正确．（4分）

例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．

如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．

设它的边长为a，则依题意可得：，∴，

如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．

设它的边长为b，则依题意可得：，∴．

∴a＞b．（7分）

（3）丙同学的结论正确．

设△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.

依题意可得：，  ∴.同理  .

=

=

=

又∵，   ∴，

∴，即.

∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.      (10分)

点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键．

35.（2011年江西省，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．

活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．

①θ= 22.5度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）； 

（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

专题：规律型．

分析：（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．

（2）本题需先根据已知条件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判断出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A，从而此时a2，a3的值和出an．

（3）本题需先根据A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值．

（4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．

解答：解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，

∴小棒能继续摆下去．

（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴∠A2A1A3=45°

∴∠AA2A1+∠θ=45°

∵∠AA2A1=∠θ

∴∠θ=22.5°

②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3

∴A2A3= ，AA3=1+ 

又∵A2A3⊥A3A4

A1A2∥A3A4

同理；A3A4∥A5A6

∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5

∴AA3A3A4，AA5=A5A6

∴a2=A3A4=AA3=1+ 

a3═AA3+A3A5=a2+A3A5

∵A3A5= 

∴a3=A5A6=AA5=a2 +a2= 

∴an= 

（3）∵A1A2=AA1

∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ

∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ

∴θ1=2θ

同理可得：θ2=3θ   θ3=4

（4）由题意得：

∴15°＜θ≤18°。

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．

36.在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB= ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

（1）当AB=AC时，（如图1），

①∠EBF= 22.5°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB=kAC时（如图2），求 的值（用含k的式子表示）．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．

专题：常规题型；计算题．

分析：（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．

②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．

（2）作∠ACB的平分线，得到 ∠C的正切值，然后证明△BEF∽△DEB，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．

解答：解：（1）①∵AB=AC∠A=90°

∴∠ABC=∠C=45°

∵∠EDB= ∠C

∴∠EDB=22.5°

∵BE⊥DE

∴∠EBD=67.5°

∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°

②在△BEF和△DEB中

∵∠E=∠E=90°

∠EBF=∠EDB=22.5°

∴△BEF∽△DEB

如图：

BG平分∠ABC，

∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形

设EF=x，BE=y，

则：BG=GD= y

FD= y+y-x

∵△BEF∽△DEB

∴ = 

即： = 

得：x=（ -1）y

∴FD= y+y-（ -1）y=2y

∴FD=2BE．

（2）如图：

作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，

∵AB=kAC

∴设AC=b，AB=kb，BC= b

利用角平分线的性质有：

= 

即： = 

得：AG= 

∵∠EDB= ∠ACB

∴tan∠EDB=tan∠ACG= 

∵∠EDB= ∠ACB 

∠ABC=90°-∠ACB

∴∠EBF=90°-∠ABC-∠EDB= ∠ACB

∴△BEF∽△DEB

∴EF= BE

ED= BE=EF+FD

∴FD= BE- BE= BE．

∴ = ．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．

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