数学思想 十大数学思想方法
一、假设法
当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。
例：在一次登山活动中，胖楚楚上山时每分钟走50米，到达山顶后沿原路下山，每分钟走75米，胖楚楚上山下山的平均速度是多少?
【分析与解】
我们要求平均速度，就必须知道上、下山共走了多少米的路，可它是个未知数，我们一点也不知道，这时我们就可以假设上、下山的总路程是150米(150是50和75的最小公倍数)，那么平均速度就是用总路程除以总时间就可以了。假设上山和下山分别都是150米;150÷50=3分，150÷75=2分;150×2=300米;所以平均速度是：300÷(2+3)=60(米/分)。在这其中我们也用到了另外一种方法，在数学上叫做“特殊值”代入法，在以后的学习中我们将会更多的接触到这种方法。
还有在我们的经典类型——鸡兔同笼当中，大部分题型都是用我们的假设法。
二、对应法
应用题的一些数量关系之间存在着对应关系，如总数与总份数的对应，路程与时间的对应，分数、百分数应用题中量与率的对应等。解题时找准数量之间的对应关系，就能实现由未知向已知的转化。这种运用对应关系解题的方法，就是对应法。
例：如果把两个连在一起的圆称为一对，那么图(1)中相连的圆共有多少对?
将各圆心用线段连起来，两圆心的“连线”与“一对圆”之间可建立“一对一”的对应关系。于是将数有多少个圆，转化为数有多少条相邻圆心之间的连线。而每个“正摆”的小等边三角形有三条“连线”。所以相连的圆共有
对。
三、从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。
例：__-__-__8÷__-__6的商是_____________
【分析与解】
这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，6都有9个，那我们就先来看一下如果4，8，6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常简单的：48÷6=8 ，4488÷66=68 ，__÷666=668 。
个6 ，1个8)。
四、从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
例：新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次?
【分析与解】
从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次，打开第二个房间需要19次。共计最多要开20+19+18+。+1=210(次)。
五、从特殊情况考虑
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况考虑。对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易;另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。但我们能熟练使用这种方法后，就只需在特殊状态下得到答案即可。
例：如右图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积S。
【分析与解】
我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况。此时，显然有S=2×2×1/4=1。
六、从反面考虑问题(正难则反)
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。
例：某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数?
【分析与解】
最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。最高的得分为50分，最低的得分为0分。
列表分析：
不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在。所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。
七、从整体考虑问题
有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。
例：现有一个3×4的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少?
【分析与解】
很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部出发，是不可能求出来的。因此我们要从整体出发去考虑。
观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加6。因为长方形的周长为2×(3+4)=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长和为：14+2×8+4×6=54 。
八、等量代换法
小朋友们一定都知道曹冲(曹操的小儿子)称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。
为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重(重量相等)时，才会淹没得一样深。
曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。
例：师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱。班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水。班长只要买 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。
因为5个空瓶=1瓶水+1个空瓶;所以4个空瓶=1瓶水;
所以每买4瓶水能够5个人喝;52/5=10......2，班长只要买10X4+2=42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。
九、枚举法
其特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。
例：从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法?
【分析与解】
在1到100中，每次取出两个数，使它们和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小数的所有可能性来例举分析，类推解答。
较小的数是1，只有一种取法，即[1，100]。
较小的数是2，有两种取法，即[2，99]、[2，100]。
较小的数是3，有三种取法，即[3，98]、[3，99]、[3，100]。 。
较小的数是50，有50种取法，即[50，51]、[50，52]。[50，100]。
较小的数是51，有49种取法，即[51，52]、[51，53]。[51，100]。 。
较小的数是99的只有一种取法，即[99，100]。
因此一共有：1+2+3+。+50+49+。+2+1=502=2500(种)。
综上所述可以看出，此类方法适合于数目、种类不很繁杂的题;分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。
十、奇偶性分析法
加减法的奇偶性
、符号无用
、偶数无用
、奇数个奇数是奇数
乘法的奇偶性
遇偶得偶
例：桌子上有5个杯子，开口全部朝上，每次同时翻其中的4个，请问是否可以经过有限次翻动使得5个杯子都开口向下。
【分析与解】
一个杯子从开口向上变为开口向下，要翻动奇数次，5个杯子翻动的次数和为5个奇数的和，因此是奇数;从总体考虑，每次翻动4个，因此总次数是4的倍数，必然是偶数。由于奇数不等于偶数，所以不可能经过有限次翻动使得5个杯子，使得所有5个杯子都开口向下。下载本文
