椭圆夹杂的弹性场分析
郭 磊
(盐城工学院基础教学部,江苏盐城 224051)
摘要:求解一类正交各向异性介质中平面椭圆夹杂在远端作用与椭圆主轴呈任意角度均匀剪切力情况下,内受非弹性特征应变引起的弹性场。采用各向异性平面问题的复变函数解法,结合保角变换方法,将远端剪切作用转化为在基体内边界上的初始应变,根据最小应变能原理,获得夹杂/基体系统弹性应力和应变场的封闭形式解析解。
关键词:非弹性特征应变;正交各向异性;保角变换;椭圆夹杂
中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:1671-5322(2010)04-0001-04收稿日期:2010-08-08
基金项目:江苏省教育厅省属高校自然科学研究资助项目(09K J B13002);盐城工学院自然科学研究资助项目(XKY 2010015)
作者简介:郭磊(1976-),男,江苏盐城人,讲师,博士,主要研究方向为复合材料力学。
复合材料及其结构已在工程中得到广泛应用,然而材料中存在的各种微结构会严重影响材料的整体性能。确定关于这些微结构的弹性力学场对于弄清材料的断裂损伤和疲劳失效行为具有重要意义。人们对具有正交各向异性的材料与结构已经进行了大量的研究,E shelby 采用特征应变方法对单个椭圆(球)夹杂问题进行了开创性的研究[1]
,M ura 的专著集中描述了该方法可以广泛
而有效地用于解决各种夹杂问题[2]
。此外,基于Lekhn itskii 的经典工作
[3]
和Str oh 理论
[4,5]
,更多
研究工作关注在各种外力作用下求解各向异性材料的孔口问题。
对于包含异质体夹杂物的材料而言,当环境温度发生变化时,夹杂与基体之间将产生相互作用[6,7]
。由于在平面问题中椭圆可以较好模拟夹杂形态,本文考虑远端存在剪切作用下,正交各向异性介质中包含单个椭圆异质体夹杂受到非弹性特征应变作用而产生的弹性场问题。采用各向异性复变函数方法,结合保角变换,先将远端剪切作用转化为在基体内边界上的初始应变,然后利用4个表征平衡边界的待定参数分别表示夹杂和基体各自的弹性应变能的表达式。根据最小应变能原理,得到这些参数的解析表达式,从而得到应力
场和应变场的封闭形式解析解。通过检验椭圆边界上的法向正应力和剪应力的连续条件来表明结果的正确性。
1 问题的描述
将考虑如图1所示的正交各向异性介质中包含一个尺寸相对很小的椭圆异质体夹杂,在远离夹杂的边缘部位上分布着密度为切应力,可以认为是作用在无限原处,并且切应力的方向与椭圆
图1 远端剪切作用下的椭圆夹杂变形示意图F ig .1 Sche m atic of an elli p tical i nho mogene ity i n
th e m atr i x under shear
第23卷第4期2010年12月
盐城工学院学报(自然科学版)
Journa l of Y ancheng Institute of T echno logy(N atural Science Ed i tion)
V o.l 23No.4Dec .2010
若基体内含的是椭圆空洞,根据Lekhnitskii 的理论,在无穷远处的外力作用,不会在椭圆孔内边界上产生正应力和切应力,但会在基体中引起 初始位移
u c- c a x+c a y,v c= c b y+c b x(1)式中 c a、 c b、c a、c b为 初始应变,以下与基体有关的物理量加注上标 c。
但是,基体内实际含的是异质夹杂体,同时夹杂内还存在非弹性特征应变 0a、 0b、0a、0b。所以基体!!!夹杂边界最终变形到由 1、 2、1、2所表征的平衡边界,其对应的位移为
u= 1x+1y,v= 2y+2x(2) 在这过程中,由特征应变引起的基体位移为u c x=D0x+I1y, v c y=E0y+I2x(3)式中:
D0= 1- c a, I1=-c a,
E0= 2- c b, I2=2-c b
问题即转化为利用已知的特征应变和远端剪切应力来求解表征的平衡边界的正应变 1、 2和切应变1、2,从而确定其对应的应力场。以下仅对平面应变问题进行分析。
2 初始应变的确定
由均匀切应力t引起的基体内的应力分量为: !c x=-t si n2 ,!c y=t sin2 ,∀c xy=t cos2 (4)两个复势函数为[3]:
#1(z1)=∃1-%2&1
%1-%2
∀1
∋1
#2(z2)=-∃1-%1&1
%1-%2∀
1
∋2(5)
其中:&1=t
2
(-a sin2 +ib cos2 ),
∃1=t
2
(a si n2 +ib cos2 )
对于理想各向异性材料,%1=&+i∃,%2=-&+ i∃,(&>0,∃>0)是表征材料正交各向异性程度的两个复参数。由两复函数#1、#2表示的面内应力分量为[8]
!x(x,y)=2R e[%21##1(z1)+%22##2(z2)]
!y(x,y)=2R e[##1(z1)+##2(z2)]
∀xy(x,y)=-2Re[%1##1(z1)+%2##2(z2)](6)面内位移分量可表示为
u(x,y)=2R e[p1#1(z1)+p2#2(z2)]
v(x,y)=2R e[q1#1(z1)+q2#2(z2)](7) 式中:
p1=c11+ic12&, p2=c11-ic12&,
q1=c21&+ic22, q2=-c21&+ic22
其中:
c11=∃12+(&2-∃2)∃11, c12=2∃∃11,
c21=∃12+
∃22
&2+∃2, c22=∃(∃12-
∃22
&2+∃2)系数∃11=a11-a213/a33,∃12=a12-a213/a33,
∃66=2(∃11-∃12)=2(a11-a12)=a66。其中,柔度系数a ij可用工程材料常数确定,即a11=1/E1,
a33=1/E3,a12=-v1/E1,a13=-v3/E3,a44=1/G3, a66=2(a11-a12)=2(1+v1)/E1=1/G1。
在平面问题复变函数解法中,椭圆孔边界上有∋1=∋2=!=e i(,且z1=x+%1y,z2=x+%2y,代入(6)式得
#1(z1)=t
4&
(m1+in1)e-i(
#2(z2)=-t
4&
(m2+in2)e-i((8)其中:
m1=a cos2 -a&sin2 +b∃cos2
n1=b si n2 +b&cos2 +a∃si n2
m2=a cos2 +a&sin2 +b∃cos2
n2=b si n2 -b&cos2 +a∃si n2
将(8)式代入(7)式并化简为(1)式的形式,得初始应变为:
c a=t[-c11-c12(R+∃)]si n2
c b=t[c21(1+R∃)-c22R]cos2
c
a=t[-c11-c12(
1
R
+∃)]cos2
c
b=t[-c21(1+
∃
R
)+c22
1
R
]si n2 (9) 3 夹杂-基体系统的应变能
设椭圆夹杂受到非弹性均匀特征应变引起的位移为
u0= 0a x+0a y, v c= 0b y+0b x(10)若没有基体存在,则椭圆异质体可在特征应变的作用下达到自由变形边界,如图2所示。但是由于基体的存在并,椭圆最终也到达平衡边界。则椭圆夹杂内的弹性应变为
0x= 1- 0a, 0y= 2- 0b
∀2
∀ 盐城工学院学报(自然科学版)第23卷
xy = 1+ 2- 0a - 0
b
(11) 其中 0
x 、 0
y 、 0
xy 为弹性应变,与夹杂有关的物理量加注上标 0
。
图2 特征应变作用下的椭圆夹杂变形示意图Fig .2 Sche m atic of an elliptical i nho m ogene ity
w ith e i gen stra i n s
对于平面应变问题,夹杂内的弹性应变能为
W I =)ab 2[∃011∃022-(∃012
)2][∃022( 1- 0a )2-2∃012( 1- 0a )( 2- 0b )+∃011( 2- 0b )2
]+1∃066
(
1+ 2- 0a - 0b )2
(12) 对于基体内应变能,引入如下的保角变换
z =∗(∋)=a +b 2∋+
(a -b)∋
2
(13)
将椭圆夹杂外的平面区域变换成一个单位圆面内的区域|∋|<1,在单位圆边界上∋=!=e i (
,显然,!的共轭复数!=1/!。复变量z =x +y i 经过变换后得到其实部和虚部分别为x =a cos (,y =-b si n (。分别引入复函数A (!),B (!)依次
作为函数#1(z 1),#2(z 2)的保角变换后的等价形式,根据(7)式,得平衡边界的位移为 u (!)=2R e [p 1A (!)+p 2B (!)]
v(!)=2Re [q 1A (!)+q 2B (!)]
(14)
利用Schw artz 公式和Cauchy 公式求出得到A (!),B (!)并代入(6)式可得基体内边界上的应力分量!c
x 、!c
y 和∀c
xy 的结果如下
!c
x
!c
y ∀c
xy
=
1F (()P 1(()P 2(()P 3(()P 4(()Q 1(()Q 2(()Q 3(()Q 4(()
T 1(()T 2(()
T 3(()
T 4(()
D 0E 0I 1I 2(15)
其中F (()、P i (()、Q i (()和T i (()(i =1,2,
3,4)的表达式这里从略。
根据C lapeyron ∃s 理论,基体的应变能为W M
=)a
2
e
(m 11D 0D 0+m 12D 0E 0+
m 22E 0E 0+m 33I 1I 1+m 34I 1I 2+m 44I 2I 2)(16)
其中:
m 11=-∃(&2
+∃2
)∃11
m 12=-R [∃12+(&2
+∃2
)∃11] m 22=-R 2
∃∃11
m 33=-R 2
∃(&2
+∃2
)∃11 m 34=R [∃12+(&2
+∃2
)∃11] m 44=-∃∃11
4 待定参数的确定
椭圆夹杂和基体系统总的应变能为两部分之和,由(12)式和(16)式得
W ( 1, 2, 1, 2)=W 1+W M
(17) 根据最小势能原理
+W + 1=+W + 2=+W + 1=+W
+ 2
=0(18)
可以确定出4个平衡边界对应的应变 1、 2、
1、 2的解析表达式如下 1=1M 1
(,11 0a +,12 0b +,13 c a +,14 c b ) 2=1M 1
(,21 0a +,22 0b +,23 c a +,24 c
b ) 1=1M 2
(,31 0a +,32 0b +,33 c a +,34 c b ) 2=
1M 2
(,41 0a +,42 0b +,43 c a +,44 c
b )(19)
其中:
M 1=(2m 11+R K ∃0
22)(2m 22+RK ∃0
11)-(m 12+R K ∃0
12)2
M 2=(2m 33+
R ∃066)(2m 44+R ∃066
)-(m 34+R ∃066)2
,11=R
K (2m 22∃0
22+m 12∃0
12+R ),12=R K (-2m 22∃0
12-m 12∃0
11)
,13=4
m 11m 22-m 2
12+RK (2m 11∃0
11+m 12∃0
12),14=R
K (m 12∃0
11+2m 22∃0
12) ,21=RK (-2m 11∃012-m 12∃0
22) ,22=RK (2m 11∃0
11+m 12∃0
12+R ) ,23=RK (m 12∃0
22+2
m 11∃0
12) ,24=4m 11m 22-m 2
12+RK (2m 22∃0
22+m 12∃0
12) ,31=
R
∃066
(2m 44-m 34)∀
3∀第4期
郭磊:远端剪切作用下正交各向异性介质中椭圆夹杂的弹性场分析
"c":
R
∃066
(2m 44-m 34) ,33=4m 33m 44-m 2
34+R
∃066
(2m 33-m 34) ,34=
R
∃066
(m 34-2
m 44) ,41=R
∃066(2
m 33-m 34) ,42=R
∃066(2
m 33-m 34) ,43=R
∃066(m 34-2
m 33) ,44=4
m 33m 44-m 2
34+R
∃066
(2m 44-m 34)5 应力连续性条件的验证和一些特殊结果
在得出待定系数的过程中,我们没有使用应力连续的边界条件,但是通过利用保角变换和(15)式可进一步确定基体内边界上的应力分布。
特别地,在椭圆夹杂边界上,夹杂与基体的法向正应力和切应力分别记为!0n
、∀0n s
、!c n
、∀c ns
,根据应力转换关系
cos 2−=-1+R 2
+(1+R 2
)cos 2(
1+R 2+(-1+R 2)cos 2( si n 2−=-2R sin 2(
1+R 2+(-1+R 2
)cos 2(
(20)
其中−为边界曲线外法线与x 轴的夹角。可得夹杂与基体在边界上的法向正应力和切应力相等,基体内边界应力的连续条件完全满足,表明了结果的封闭性。表达式如下:
!0
n =!c
n =!n =!1(()( 0
a - c
a )+!2(()( 0
b -
c b
)+!3(()( 0a
+ 0b
- c a
- c b
)
∀0
ns =∀c
ns =∀n s =∀1(()( 0
a - c
a )+∀2(()( 0
b - c
b )+∀3(()( 0
a + 0
b - c
a - c
b )
(21)
其中:
S (()=1+R 2
+(-1+R 2
)cos 2(!1(()=
2KR 2
e M 1S ((){[R
2
∃022
+2R ∃11∃(&2
+
∃2
)
]cos
2
(+
[-∃
012
+∃12+∃11(&2
+∃2
)
]si n 2
(}
!2(()=
2K R 2e M 1S (()
{R 2[-∃012+∃12+∃11(&2
+∃2
)
]co s
2
(+(∃0
11+2R ∃11∃)si n 2
(}
!3(()=-4R 3
si n (cos (
e M 2S (()∃0
66
∀1(()=KR 2
sin 2(e M 1S ((){2∃11∃(&2+∃2
)+R
[∃0
12+
∃022-∃12-∃11(&2+∃2
)
]}
∀2(()=KR 3
sin 2(
e M 1S ((){
-2R ∃11∃+[-∃0
12-∃0
11+
∃12+∃11(&2
+∃2
)
]}
∀3(()=R 2
e M 2S (()∃066
[-1+R 2+(1+R 2
)cos 2(
]以上结果均可简化为已知的经典结论。例如对于各向同性材料,取&=0,∃=1。当夹杂内受均匀特征应变的作用,在平面应力情况下,式(16)可化简为W =W 1
M +W 2
M ,其中W 1
M 、W 2
M 分别为正应变和切应变表示的应变能,其表达式为:W 1M
=-)a
2
e
[∃11 21+R (∃2+∃11) 1 2+R 2∃11 2
2]W 2M
=-)a
2
e
[R 2∃11 21-R (∃12+
∃11) 1 2+∃11 2
2]
(22)
式中,e =∃212
+2∃11∃12-3∃211
,∃11=1-v
2
E
,
∃12=-v (1+v )E
,E,v 分别为材料弹性模量和泊松
比。上面结果即为经典结果[9]
。此外对于各向同性材料仅受外载作用的情形,式(9)可退化为经典结果
[10]
。
6 小结
本文给出了远端剪切作用下,一类正交各向异性介质中平面椭圆夹杂受非弹性均匀特征应变引起的应力场的封闭形式的解析解。通过检验边界上法向正应力和切应力的连续条件表明了结果的正确性,并且本文结果可退化到已有的经典结果。本文的解可做为正交各向异性材料在特征应变和外部均匀剪切共同作用下的材料疲劳失效与断裂损伤的理论分析依据。
(下转第8页)
Se m ifl uori nated Graphene Sheet
GAO Ben li n g1,2
1.Schoo l o fM athe m atics and Physics,H ua iy i n Instit ute o f T echno l ogy,Jiangsu H uaian 223003,Ch i na;
2.Depart m ent of Physics,N anji ng U n i ve rsity,Jiangsu N an ji ng 210093,China
Abstrac t:T he e lectron ic and m agnetic properti es o f t he se m ifl uor i nated graphene sheet are i nvestigated by density functi onal theo ry.The resu lts show that sem ifl uor i nati on m akes graphene sheet as a antiferrom agnetic se m i conducto r w ith an i ndirect band gap o f 1.00eV.Due to attracti ve i nteraction of fluor i ne ato m s w it h fl uor i nated carbon a to m s,the fluo ri nated ca rbon ato m s and unfl uor i nated ca rbon atom s belong t o t wo d ifferen t planes and the d istance bet ween t he planes is0.286 ,t he l eng th o f carbon-carbon bond reach i ng1.501 .So,se m ifl uorina tion translates the non m agne tic m a teria l i nto antiferrom agnetic se m iconductor w ith band gap.A nd it i ndicates t hat itm ay have po ten tia l app licati ons for future f uncti onal nanodev i ces.
K eywords:density f unc tiona l theo ry;se m ifl uor i nati on;antiferrom agnetic se m iconductor
(责任编辑:张英健;校对:沈建新)
(上接第4页)
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Analysis of Elastic F ields i n an Elliptic I nho m ongeneity i n Orthotropic M edia under Unifor m Shear at Infi nity
GUO Lei
(D epart m ent o f basic Science,Y ancheng Institute of T echnology,Ji angsu Y ancheng 224051,Chi na)
Abstrac t:Th is paper presents an ana l ytical so l ution fo r the e lastic fi e l ds i nduced by non-elasti c e i genstra i ns i n a plane e llipti ca l inhom og ene it y e m bedded in the o rt hotropic m atri x under shear at i nfi n it y and i ncli ned at any ang le.T he con f o r m al transfo r ma ti on and comp l ex f unc tion me t hod for an i so trop i c e l astic m ater i a lw ere used to transfor m the shear to the i n iti a l stra i ns i n the m atri x and to generate a c l osed-f o r m so l uti on for the e lastic stra i ns/stress fi e l ds i n the i nhom ogeneity and m atri x in ter m s of t he pri nc i p l e o f the m i n i m u m potenti a l energy.
K eywords:non-e l asti c e igenstrains;o rt hotropic;confor m a l transfor m ation;ellipti c i nhomong ene i y
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