一、不等式的概念

1．不等式的定义．

2．不等式的分类．

二、实数运算的性质（符号法则）

1．,．

2．．                 3．,．

4．．

5．．

三、不等式的性质

1．三歧性：   对于任意两个实数a与b，在三种情况中仅有一种成立．

2．对称性：  ．

3．传递性：  等号是否传到底？

4．可加性：   ；（移项法则、作差原理）．

5．加法法则： （同向特征，可推广）．

6．可乘性：  （若，则）；

（若，则）．

7．倒数法则：（1）(若，则)；

（2）(若，则)；

（3）．

例：设a＞1＞b＞－1,则下列不等式中恒成立的是   (  C  )

A．        B．         C．a＞b2      D．a2＞2b

8．乘法法则： （可推广）．

9．乘方法则：．（乘法法则的特例）

（）．

10．开方法则：．

11．均值定理：（1）（当且仅当a、b相等时取等号）（可推广）；

（2）（当且仅当a、b相等时取等号）

    （几何意义：半径不小于半弦．）；

（3）（当且仅当a、b相等时取等号）；

（4）

（当且仅当a、b相等时取等号）；

（调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数）；

（5）（一正二定三相等）；

（6）   （一正二定三相等）．

例1:如果x2＋y2=1,则3x－4y的最大值是 ( D   )

A．3         B．        C．4      D．5

        例2：设x、y∈R+ 且=1,则x+y的最小值为________.

12．真分数性质： （浓度不等式）．

例：在一杯质量为m的水中加入n克的糖，所成的水的浓度为，若在水中继续加入克的水，所成的糖水的浓度为则 > （“<”，“>”或“=”）

注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．

附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．

四、不等式的证明

具体证明方法有如下几种：

1．作差比较法 

步骤：作差变形（配方、通分、分解、有理化、配方等）定号判断．

2．作商比较法 

步骤：作商（注意前提）变形（指数运算）定号判断．

3．分析法     

原理：．

步骤：执果索因，从“未知”找“需知”，逐步靠拢“已知”．

4．综合法     

原理：．

步骤：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

注： 

   （2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证……，只需

证……”、“即……”、“假定……成立，则……”等．并且，必须有对最后找到

的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误．

（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用综合法证明．而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效．对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开．

（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法．其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等．

5、反证法

适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②结论是以“至多”、“至少”等形式出现的命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面比原结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。

五、解不等式

大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式．

例1：不等式≥1的解集是 (    )

A．{x|≤x≤2}                       B．{x|≤x ＜2}

C．{x|x＞2或x≤}                   D．{x|x＜2}

例2：不等式组的负整数解是____________________。

7．不等式组、不等式串

 求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最后归一）；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解．

9．超越不等式（指数不等式、对数不等式、三角不等式等）

指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等）、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组）．

注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数→作图象→通过对应方程得交点的横坐标→根据图象特点取解集．

  例1：若，则等于（    ）

A．      B．   C．3   D． 

例2：函数y＝log（x＋＋1） （x > 1）的最大值是 （     ）

A．－2   B．2  C．－3   D．3

六、不等式的其他应用

1．求范围

先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法），然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之．（亦可用线性规划法）

2．求最值

   （1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求其最值．

   （2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式．

注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值．

例1：若不等式x2－logax＜0在(0,)内恒成立,则a的取值范围是  (    )

A．≤x＜1        B．＜a＜1   C．0＜a≤     D．0＜a＜

例2：如果实数x,y满足x2＋y2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 (    )

A．最小值和最大值1         B．最大值1和最小值 

C．最小值而无最大值         D．最大值1而无最小值

3．求实际问题的解（不等式建模）

七、不等式的相关知识

    函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识都与不等式密切相关．

绝对值基础知识

1．绝对值的定义（几何意义）： 

2．绝对值的基本性质：

3．绝对值的性质定理：

（1），（可推广），    ；

（2）（）．（3）；

4．绝对值的处理方法：

（1）公式法：；

（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题）；

（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数）；

（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义）．

5．绝对值不等式的类型：

（1）；        （2）；        （3）．

例1：解不等式│x+2│+│x-2│≤12

例2：已知A={x││x-1│＜c，c＞0＝，B={x││x-3│＞4}，且A∩B=Ф，求c的范围．下载本文