一. 求某些特殊值
1.定义在R上的函数满足：且，求的值。
2.已知函数对任意实数都有，且当时，
，求在上的值域。
二. 求参数范围
3.已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
4.已知是定义在[-∞,3]上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
三. 解不等式
5.已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
四. 证明某些问题
6.设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
7.已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
五. 综合问题求解
8 设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。
（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；
（3）设，
，若，求满足的条件。
答案
1. 解：由，
以代入，有，
为奇函数且有
又由
故是周期为8的周期函数，
2.解：设
且，
则，
由条件当时，
又
为增函数，
令，则
又令
得
，
故为奇函数，
，
上的值域为
3.解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
在上是减函数，
由得。
（1）当时，
，不等式不成立。
（2）当时，
（3）当时，
综上所述，所求的取值范围是。
4.解：
对恒成立
对恒成立
对恒成立，
5.解：设且
则
，
即，
故为增函数，
又
因此不等式的解集为。
6.分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。
证明：
得
由（3）得
由（3）和（4）得。
上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。
7.证明：对一切有。
且，令，得，
现设，则，，
而
，
设且，
则
，
即为减函数。
8.解：（1）令得，
或。
若，当时，有，这与当时，矛盾，
。
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由
（3）由得
由得 （2）
从（1）、（2）中消去得，因为
，
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