陈哲

2017.10.14第一章补充习题1

•给定事件集合X={x1,x2, ... , xn} 及相应的概率P={p1, p2, ... , pn} ，证明该事件集的联合熵满足H(X)≤log2(n) 。

•H(X)=−σi=1n p i log p i ,

•σi=1n p i =1•定义域的函数极值问题——拉格朗日乘子法

•F=−σi=1n p i log p i +λ(σi=1n p i −1)

ðF ðp i =-log p i -1+λ֜p i =p j ðF ðλ=σi=1n p i −1֜p i =1n 带入H(X)求得极值log2(n)，★验证是最大值！

•对任意给定的事件集X1 、X2 及系数0≤a≤1 ，证明香农熵的上凸性，即

•a H(X1)+(1−a)H (X2)≤H[aX1+(1−a) X2 ]•事件集求和的定义？

i) aX1+(1−a) X2：{x11x12…x1n x21x22…x2m}对应概率

{a p11a p12…a p1n(1−a)p21(1−a)p22…(1−a)p2m} ii) {x1x2…x n}，对应概率

{a p11+(1−a)p21，a p12+(1−a)p22，…a p1n+(1−a)p2n}不等式证明数学细节略过第一章补充习题3

•证明联合熵的链式法则:

•H(X1 X2 ... Xn)

=H(X1)+H(X2∣X1)+...+H (XN∣( X1X2 ... XN−1))

•二事件情形：

•H(XY)=−σp xiyj log p xiyj,p xiyj=p yj p xi|yj =−σp yj p xi|yj log p yj p xi|yj

=−σp yj p xi|yj log p yj−σp yj p xi|yj log p xi|yj =H(Y)+H(X|Y)

反复把X1X2……Xi-1当作Y即可得到结论第一章补充习题4

•复习矩阵上三角化的Schur定理

•并以此为基础论证厄密矩阵的谱分解性质，即任意厄密矩阵A，总可以幺正对角化成一个实对角矩阵；再把本征向量表示成dirac记号，从而把A简单表示讲义上的成dirac记号的形式。

•Schur定理：方阵A 酉相似于上三角阵

A是厄密矩阵的情形:A†=(UTU†)†=U(UTU†U†=A=UTU†两边乘以U,U†可以得到上三角阵T=T†，即T是实对角阵

记U=(ۧ|1,ۧ|2,ۧ|3…ۧ|n),T=diag(a1,a2,…,an),即可得到dirac形式第一章作业1

•计算二元对称信道的信道容量。

二元对称信道

•X ——————————Y

0p0设P(x=1)=p0

1-p I(X:Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)

=H(Y)-H(Y|X)

1-p=H(Y)+plogp+(1-p)log(1-p)

1p 1 C=max{p0}I =max H(Y)+plogp+(1-p)log(1-p)

第一章作业2

•空间H 中存在两组正交归一化态{ۧ|෦φi }{ۧ|φi }.则存在幺正变换U 使得U ۧ|φi =ۧ|෦φi .试构造出该变换.

U ij =ൻφi U ൿ|φj =ൻφi ൿ

|෦φj •U =σi,j ൻφi ൿ|෦φj ቚۧφi ൻหφj =σj ቚൿ෦φj ൻห

φj •UU †

=σi,j หۧ෦φi ۦ|φi ൿφj ൻห෦φj =I

第一章作业3

•空间H 中存在两组归一化态{ۧ|෦φi }{ۧ|φi }.•满足φi φj =෦φi ෦φj

•则存在幺正变换U 使得U ۧ|φi =ۧ|෦φi .试构造出该变换.

•ۧ

|ϕ=1

2|ۧ0

A

1

2

|ۧ0

B

+3

2

|ۧ1

B

+1

2

|ۧ1

A

3

2

|ۧ0

B

+1

2

|ۧ1

B

i)求约化密度矩阵；

ii)求的Schmidt分解形式.ρA=trB(ۧ

|ϕۦϕ|)

=1/23/4 3/41/2

=−2/22/2

2/22/2

(2−3)/40

0(2+3)/4

−2/22/2

2/22/2

第一章作业5

•对三粒子系统纯态，在空间中是否存在中的正交基，使得

•ۧ|ϕABC =σi p i ۧ|i A ۧ|i B ۧ

|i C •一定成立?给出理由。

不一定

•ۧ|ϕABC =σi p i ۧ|i A ۧ

|i BC •ۧ|i BC =σj p ij ۧ|ij B ۧ|ij C --仅j 只有一项时,满足题给的形式•举个例子

•ۧ|ϕ=12|ۧ0A 12|ۧ0B +32|ۧ1B |ۧ0C +12|ۧ1A ቀቁ32|ۧ0B +

12|ۧ1B |ۧ0C

|Ψ为量子态，在Bloch球面上均匀随机分布•设ۧ

|Ψ

|ϕ，求猜测态相对于ۧi)随机的猜想一个态ۧ

的平均保真度

ii)对此量子态做正交测量{P↑,P↓}，测量后系统

|Ψ的平均保真度

被制备到ρ,求ρ与原来态ۧ

先猜ۧ|ϕ,然后对ۧ|Ψ平均

•ۧ|Ψ=cos θ/2ۧ|0+e iφsin θ/2ۧ

|1•ۧ|ϕ=cos θ′/2ۧ|0+e iφ′sin θ′/2ۧ

|1•|Ψϕ|2=cos 2θ2cos 2θ’2+sin 2θ2sin 2θ’2•തF =׭cos 2θ2cos 2θ’2+sin 2θ2sin 2θ’2sinθdθdφ/4π•第二问同理,P ↑=cos 2θ’2e iφ′sin θ’2cos θ’2e −iφ′sin θ’2cos θ’2sin 2θ’2下载本文