一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）
A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π
3．（5分）F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）
A． 椭圆 B． 直线 C． 线段 D． 圆
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于（）
A． 90° B． 60° C． .45° D． .30°
5．（5分）直线ax+by+b﹣a=0与圆x2+y2﹣x﹣2=0的位置关系是（）
A． 相交 B． 相离
C． 相切 D． 与a、b的取值有关
6．（5分）已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
7．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
A． （x+1）2+（y﹣1）2=2 B． （x﹣1）2+（y+1）2=2 C． （x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D． （x+1）2+（y+1）2=2
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A． 或k≤﹣4 B． 或 C． D．
9．（5分）P是△ABC所在平面α外的一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α于O，O在△ABC内，则O是△ABC的（）
A． 外心 B． 内心 C． 垂心 D． 重心
10．（5分）直线l1：x+3y﹣7=0、l2：kx﹣y﹣2=0与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k的值等于（）
A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
11．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题（）
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α．
其中假命题是（）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
12．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）
A． [1，+∞） B． [﹣1，﹣） C． （，1] D． （﹣∞，﹣1]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是．
14．（5分）圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为．
15．（5分）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．
16．（5分）半径为r的球在一个圆锥内部，它的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的全面积与球面面积的比是．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=ax+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．
18．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y=0上，且截直线x﹣y=0得的弦长为的圆的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．
20．（12分）已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1
①求证：无论a为何值时直线总经过第一象限；
②为使这直线不过第二象限，求a的范围．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交与A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．
22．（12分）如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；
（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20，求此时椭圆的方程．
青海省西宁市2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷
参与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 计算题．
分析： 首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．
解答： 解：
由|x﹣1|＜2，
得﹣1＜x＜3，
由x（x﹣3）＜0，
得0＜x＜3，
故选B．
点评： 正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．
2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）
A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．
解答： 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，
其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．
∴S球=4πr2=4π×=3π．
答案：C
点评： 本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．
3．（5分）F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）
A． 椭圆 B． 直线 C． 线段 D． 圆
考点： 轨迹方程．
专题： 探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上．
解答： 解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，
∵|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，
∴点M在线段F1F2上．
故选C．
点评： 本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于（）
A． 90° B． 60° C． .45° D． .30°
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 计算题．
分析： 取AB的中点N，由ON⊥平面ABCD得到 ON⊥BM，再由Rt△ABM≌Rt△BCN，且两个直角边对应垂直，可得CN⊥BM．
再由线面垂直的判定定理可得BM⊥平面CNOP，从而证得BM⊥OP，从而得到异面直线OP与BM所成的角．
解答： 解：如图：取AB的中点N，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，
故ON⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴ON⊥BM．
再由Rt△ABM≌Rt△BCN，且两个直角边对应垂直，可得CN⊥BM．
而CN和ON是平面CNOP内的两条相交直线，故BM⊥平面CNOP．
再由OP⊂平面CNOP，可得BM⊥OP．
故异面直线OP与BM所成的角等 90°，
故选A．
点评： 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线和平面垂直的判定与性质，得到BM⊥平面CNOP，是解答本题的关键，属中档题．
5．（5分）直线ax+by+b﹣a=0与圆x2+y2﹣x﹣2=0的位置关系是（）
A． 相交 B． 相离
C． 相切 D． 与a、b的取值有关
考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 计算题．
分析： 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，将直线方程变形后可得出此直线恒过定点（1，﹣1），利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d，根据d小于r判断出此点在圆内，故得到直线与圆相交．
解答： 解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣）2+y2=，
所以圆心坐标为（，0），半径r=，
将直线ax+by+b﹣a=0变形得：a（x﹣1）+b（y+1）=0，
可得出此直线恒过（1，﹣1），
又（1，﹣1）到圆心的距离d==＜=r，
∴点（1，﹣1）在圆内，
则直线与圆的位置关系是相交．
故选A
点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，解答此类题时常常转化为圆心到直线的距离d与圆的半径r比较大小的问题，当0≤d＜r，直线与圆相交；当d=r，直线与圆相切；当d＞r，直线与圆相离．
6．（5分）已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；综合题．
分析： 设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．
解答： 解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）
∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，
∴焦距2c=AB，其中c=＞0
∵BC⊥AB，且BC=AB=2c
∴AC==2c
根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c
∴椭圆的离心率e====
故选A
点评： 本题给出椭圆以正方形的一边为焦距，而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．
7．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
A． （x+1）2+（y﹣1）2=2 B． （x﹣1）2+（y+1）2=2 C． （x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D． （x+1）2+（y+1）2=2
考点： 圆的标准方程．
分析： 圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
解答： 解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；
圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．
故选B．
点评： 一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A． 或k≤﹣4 B． 或 C． D．
考点： 直线的斜率．
专题： 直线与圆．
分析： 画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，
解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
解答： 解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k≥或 k≤4
故选：A．
点评： 本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
9．（5分）P是△ABC所在平面α外的一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α于O，O在△ABC内，则O是△ABC的（）
A． 外心 B． 内心 C． 垂心 D． 重心
考点： 三角形五心．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 如图，P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面α上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OE=OF=OD，三线段分别垂直于对应的边，可得其为内心．
解答： 解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，
故选B．
点评： 本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型．
10．（5分）直线l1：x+3y﹣7=0、l2：kx﹣y﹣2=0与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k的值等于（）
A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
考点： 圆的标准方程．
专题： 计算题．
分析： 由四边形有外接圆利用坐标轴垂直得到两直线与坐标轴交点的连线是直径，根据直径所对的圆周角为直角得到两直线垂直，利用直线垂直时斜率乘积为﹣1解得k即可．
解答： 解：根据直线方程求得=﹣，=k，
因为两直线与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆即两直线互相垂直，
则•=﹣1，即﹣k=﹣1，解得k=3
故选B
点评： 考查学生灵活运用圆的性质解决实际问题，掌握两直线垂直时的条件．
11．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题（）
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α．
其中假命题是（）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由公理4，即可判断①；可线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断②；
由线面平行的性质和线线位置关系，即可判断③；由线面垂直和面面垂直的性质，结合线面位置关系，即可判断④．
解答： 解：①若m∥l，n∥l，则m∥n，由公理4知，①对；
②若m⊥α，m∥β，过m的平面为γ，令γ∩β=l，则m∥l，即有l⊥α，l⊂β，α⊥β，故②对；
③若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故③错；
④若m⊥β，α⊥β，则在α内作一条直线l垂直于α，β的交线，则l⊥β，m∥l，故有m∥α，
或m⊂α，m⊥β．故④对．
故选C．
点评： 本题考查空间线线的位置关系，线面位置关系，主要是平行或垂直，考查面面垂直的判定和性质，属于基础题．
12．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）
A． [1，+∞） B． [﹣1，﹣） C． （，1] D． （﹣∞，﹣1]
考点： 直线与圆锥曲线的关系．
专题： 计算题；数形结合．
分析： 将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围．
解答： 解：曲线 即x2+y2=4，（y≥0）
表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：
直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4
表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线
结合图形可得
，
∵解得
∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是
故选B
点评： 解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是2x﹣y+16=0．
考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 算出已知直线的斜率为k=﹣，从而得到所求垂线的斜率为k'=2，再由直线方程的点斜式方程列式，化简即可得到所求垂线方程．
解答： 解：∵直线x+2y+3=0的斜率为k=﹣，
∴与直线x+2y+3=0垂直的直线斜率为k'==2，
因此过点（﹣6，4）且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y﹣4=2（x+6），
化简得2x﹣y+16=0，即为所求垂线方程．
故答案为：2x﹣y+16=0
点评： 本题求经过定点与已知直线垂直的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和直线的位置关系等知识，属于基础题．
14．（5分）圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为6π．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 计算题．
分析： 利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的侧面积公式进行运算．
解答： 解：圆台的轴截面如图
由已知，∠DBE为母线和下底面的一条半径成的角，∴∠DBE=60°，
设圆台上底面的半径为 r，下底面的半径为 R，
过D作DE⊥OB于E，在RT△DEB中，母线DB=2，∴EB=R﹣r=DB•cos∠DBE=2×=1，∴R=2
故圆台的侧面积等于π（r+R）l=π（1+2）×2=6π，
故答案为：6π．
点评： 本题考查了圆台的结构特征，侧面积的求法．利用了圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，将空间问题转化为平面问题解决．
15．（5分）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 压轴题．
分析： 由已知c=2，=3⇒b2=3a⇒a2﹣4=3a⇒a=4，由此可以求出该椭圆的离心率．
解答： 解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点，
∴c=2，=3，
∴b2=3a，
∴a2﹣4=3a
∴a=4，
∴e=．
故答案：．
点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
16．（5分）半径为r的球在一个圆锥内部，它的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的全面积与球面面积的比是9：4．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 通过轴截面是一个正三角形与其内切圆，求出圆锥的底面半径与圆锥的高，求出球的表面积与圆锥的全面积，即可得到比值．
解答： 解：因为半径为r的球在一个圆锥内部，它的轴截面是一个正三角形与其内切圆，
所以圆锥的高为：3r，正三角形的高为：3r，所以正三角形的边长a，，
所以a=2r，
球的表面积为：4πr2，
圆锥的表面积为：=9πr2．
圆锥的全面积与球面面积的比：9：4．
故答案为：9：4．
点评： 本题考查圆锥的内接球，球的表面积与圆锥的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=ax+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．
考点： 复合命题的真假．
专题： 计算题．
分析： 由题意可得，P：0＜a＜1；由△=（2a﹣3）2﹣4＞0可得q，然后由p∨q为真，p∧q为假，可知p，q一真一假，分类讨论进行求解
解答： 解：∵y=ax+1单调递减
∴P：0＜a＜1
∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点
∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0
∴q：a或a
∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假
∴p真q假，或p假q真
当p真q假时，
∴0
当p假q真时，
∴a
综上可得，a或0
点评： 本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了知识函数与二次函数的性质的简单应用，属于基础试题
18．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y=0上，且截直线x﹣y=0得的弦长为的圆的方程．
考点： 直线与圆相交的性质．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 设圆心（t，3t），由题意可得半径r=3|t|，求出圆心到直线的距离d，再利用垂径定理，解得t的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．
解答： 解：设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r=3|t|．
∵圆心到直线的距离d==t，
∴由r2=d2+（）2，解得t=±1．
∴圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．
∴圆C的方程为 （x+1）2+（y+3）2=9 或 （x﹣1）2+（y﹣3）2=9．
点评： 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．
考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．
专题： 空间角；空间向量及应用．
分析： 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，可求出各点的坐标；
（1）求出EF和CD的方向向量，根据向量垂直的充要条件，可证得⊥，即EF⊥DC．
（2）设G（x，0，z），根据线面垂直的性质，可得•=•=0，进而可求出x，z值，得到G点的位置；
（3）求出平面DEF的法向量为，及DB的方向的坐标，代入向量夹角公式，可得DB与平面DEF所成角的正弦值
解答： 解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
设AD=a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a，，0）、F（，，）、P（0，0，a）．
（1）∵=（﹣，0，），=（0，a，0），
∴•=（﹣，0，）•（0，a，0）=0，
∴⊥
∴EF⊥DC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．
=（x﹣，﹣，z﹣），
•=（x﹣，﹣，z﹣）•（a，0，0）=a（x﹣）=0，∴x=；
•=（x﹣，﹣，z﹣）•（0，﹣a，a）=+a（z﹣）=0，∴z=0．
∴G点坐标为（，0，0），即G点为AD的中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）设平面DEF的法向量为=（x，y，z）．
由得：
取x=1，则y=﹣2，z=1，
∴=（1，﹣2，1）．
cos＜，＞===，
∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，其中建立空间坐标系，将空间线线关系，线面关系转化为向量垂直和平行，将线面夹角转化为向量夹角是解答的关键．
20．（12分）已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1
①求证：无论a为何值时直线总经过第一象限；
②为使这直线不过第二象限，求a的范围．
考点： 确定直线位置的几何要素．
专题： 直线与圆．
分析： ①将方程整理为a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0，对任意实数a恒过直线3x﹣y=0 与x﹣2y+1=0 的交点，解方程组求得交点的坐标．
②a=2时，直线x= 不过第二象限．当a≠2时直线方程化为：y=，此直线不过第二象限的充要条件为 ，由此解得a的范围．综合求得a的范围．
解答： 解：①应用过定点的直线系方程，将方程整理为a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0，
对任意实数a恒过直线3x﹣y=0 与x﹣2y+1=0 的交点为（，），
∴直线系恒过第一象限内的定点为（，）．
②a=2时直线x= 不过第二象限，当a≠2时直线方程化为：y=，
此直线不过第二象限的充要条件为 ，解得a＞2．
总上：a≥2时，直线不过第二象限．
点评： 本题主要考查直线过定点问题，确定直线位置关系的几何要素，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交与A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．
考点： 椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 计算题；综合题．
分析： （1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于0，求得k的范围，设A，B的坐标，则根据韦达定理求得x1+x2，x1x2的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而可表示出AB中点的坐标，根据|PA|=|PB|推断出PE⊥AB，可知kPE•kAB=﹣1，求得k，则直线方程可求得．
解答： 解：（Ⅰ）由已知2a=6，，
解得a=3，，
所以b2=a2﹣c2=3，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由得，（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0，
解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
计算，
所以，A，B中点坐标为，
因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，kPE•kAB=﹣1，
所以，
解得k=±1，
经检验，符合题意，
所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．
点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．涉及直线与圆锥曲线关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理来解决问题．
22．（12分）如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；
（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20，求此时椭圆的方程．
考点： 椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．
专题： 计算题；综合题．
分析： （1）根据题意可表示出M的坐标，进而表示出直线OM的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的关系进而求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）利用椭圆的定义可表示出|F1C|+|F2C|，进而利用余弦定理表示出cos∠F1CF2，利用基本不等式可知求得cos∠F1CF2的范围进而求得∠F1CF2的范围．
（3）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程消去x整理后利用韦达定理表示出y1+y2和y1•y2，进而求得|y1﹣y2|代入三角形面积公式求得求得c，进而可分别求得a和b，则椭圆的方程可得．
解答： 解：（1）易得，∴，∴．
（2）证明：由椭圆定义得：=．，
∴，∴．
（3）解：设直线PQ的方程为（x﹣c），即y=﹣．
代入椭圆方程消去x得：，
整理得：，∴．
∴，
因此a2=50，b2=25，所以椭圆方程为．
点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和计算能力．下载本文
