1．基础知识自测题：

1．函数f(x)、g(x)的定义域都是(－∞, ＋∞)，若是f(x)奇函数，g(x)是偶函数，则F(x)＝f (x)·g(x)是奇函数。

2．函数f(x)的定义域是R，且当x∈[0, ＋∞)时，f(x)为增函数，则当f (x)为奇函数时，它在(－∞, 0)上的增减性是递减；当f(x)为偶函数时，它在(－∞, 0)上的增减性是递增。

3．下面有四个函数，①f (x)＝2x＋1; ②g(x)＝; ③ h(x)＝; ④u(x)＝

l g, 其中偶函数是③，奇函数是④，既不是偶函数也不是奇函数的是①、②。

4．对于函数y＝f (x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个

值时，f(x＋T)＝f(x) 都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

5．函数y＝的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；函数y＝的递减区间是 (－1, ＋1] 。

6．下面四个函数，①y＝; ②y＝; ③y＝1－x2; ④y＝x2＋2x,其中在区间（－∞, 0）内为减函数的是①。

7．已知y＝f(x)在实数集上是周期为2的周期函数，且是偶函数，已知x∈[2, 3]时，f (x)＝x, 则当x∈[－1, 0]时,f (x)的表达式是y＝－x＋2 。

2．基本要求、基本方法：

1．理解函数的单调性和奇偶性的概念。

2．能运用定义判断简单函数的奇偶性和单调区间。

3．了解复合函数的单调性和奇偶性的意义，并能解决一些简单的函数问题。

4．理解函数的周期性概念，会求简单函数的最小正周期。

例1．求出下列函数的单调区间：

(1) y＝; (2) y＝.

解：(1) 函数y＝的定义域是x∈R且x≠0, x≠－2.

又函数u(x)＝x2＋2x的图象是开口向上的抛物线，顶点的横坐标是x ＝－1,

∴函数y＝在区间(―∞, ―2)上单调递增；在区间上(―2, ―1]单调递增；

在区间上[－1, 0)单调递减；在区间(0, ＋∞)上单调递减。

(2) 函数y＝的定义域是[－4, ＋4], u(x)＝－x2＋16的图象是开口向下的

抛物线，顶点的横坐标是x＝0, ∴函数y＝在区间[－4, 0]上单调递增，

在区间[0, 4]上单调递减。

评注：解函数的增减性问题一定要注意原函数的定义域，只有在原函数的定义域内研究

问题才有意义。

例2．定义在(－1, 1)上的奇函数f(x)是减函数，解关于a的不等式：f (1―a)＋f (1―a2)<0.

解：∵f (1―a)＋f (1―a2)<0，∴f (1―a)<－f (1―a2)＝f (a2―1).

由不等式组, 解得 ,

∴不等式f (1―a)＋f (1―a2)<0的解集是{a| 0评注：把函数的增减性和奇偶性结合起来，同样要注意原函数的定义域。

例3．若定义在实数集上的函数y＝f(x)是一个最小正周期为3的周期函数，且已知

f (x)＝, 求f (π)＋f (－π)的值。

解：∵函数f (x)的最小正周期是3，∴f (π)＝f (π－3)＝－(π－3)＝3－π,

f (－π)＝f (－π＋3)＝3－π，∴f (π)＋f (－π)＝6－2π.

3．基本技能训练题：

1．已知偶函数f(x)的定义域是R，则下列函数中为奇函数的是（B ）。

(A) si n[f (x)] (B) x·f (si nx) (C) f (x)·f (si nx) (D) [f (si nx)]2

2．已知偶函数f(x)在[0, 2]内单调递减，若a＝f(－1), b＝f(), c＝f (l g 0.5)，则a、b、c之间的大小关系是（A）。

（A）c>a>b（B）a>b>c（C）b>a>c（D）c>b>a

3．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞, 4)上是减函数，那么实数a的取值范围是（A）。

（A）a≤－3 （B）a≥－3 （C）a≤5 （D）a≥3

4．函数y＝的递增区间是 [―3, ―1] ；递减区间是 [－1, 1] 。

5．若f (x)＝(m－1)x2＋2mx＋3m－3为偶函数，则m的值为 0 。

6．设f(x)是定义在R上最小正周期为T的函数，则f(2x＋3)是（C ）。

（A）最小正周期为T的函数（B）最小正周期为2T的函数

（C）最小正周期为的函数（D）不是周期函数

7．设f (x)是以4为最小正周期的函数，且当－2≤x<2时, f (x)＝x，则f (－98.6)的值为

（B）。

（A）98.6 （B）1.4 （C）5.4 （D）－2.6

8．函数y＝的单调递增区间是(―∞, ―8)。

9．已知f(x)＝|1－x|，则f[f(x)]的单调递增区间是[0, 1]、[2, ＋∞)。

10．设定义在R上的函数f(x)的最小正周期为2，且在区间(3，5]内单调递减，则

a＝f(－)、b＝f(－4)和c＝f(－π)的大小关系是a（一）选择题：

1．下列四个函数：①y＝; ②y＝x2＋x; ③y＝－(x＋1)2; ④y＝＋2，其中在(－∞, 0)上为减函数的是（A）。

（A）①（B）④（C）①、④（D）①、②、④

2．若y＝f(x)是R上的偶函数，且当x∈(0, ＋∞)时, f(x)＝x(1－x)，那么当x∈(－∞, 0)

时，f (x)的表达式是（B）。

（A）x(x＋1) （B）－x(x＋1) （C）－x(x－1) （D）x(x－1)

3．若函数y＝f (x) (f (x)不恒为零)的图象与y＝－f(x)的图象关于原点对称，则y＝f (x)（B ）。

（A）是奇函数而不是偶函数（B）是偶函数而不是奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数又不是偶函数

4．函数y＝的单调递减区间是（C）。

（A）(－∞，1] （B）(－∞，0] （C）[1,＋∞) （D）(－∞，0]∪[1,＋∞)

5．已知y＝f(x)在定义域R上是减函数，则函数y＝f(|x＋2|)的单调递增区间是（D）。

（A）(－∞, ＋∞) （B）(2, ＋∞) （C）(－2, ＋∞) （D）(―∞, ―2)

6．在下列函数中，既是以π为周期的偶函数，又是在区间(0, )上为增函数的是（B）。

（A）y＝x2, x∈R（B）y＝|si nx|, x∈R（C）y＝c os2x, x∈R（D）y ＝3, x∈R

7．若函数f (x)为定义在区间[－6, 6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是（A）。

（A）f (－1)f (2) （D）f (2)>f (3)

8．现有三个函数：f1(x)＝(x－1), f2(x)＝, f3(x)＝, 在这三个函数中，下面说法正确的是（A）。

（A）有一个偶函数，两个非奇非偶函数（B）有一个偶函数，一个

奇函数

（C）有两个偶函数，一个奇函数（D）有两个奇函数，一个偶函数

9．已知函数y＝f(x)是偶函数(x∈R), 在x<0时，y是增函数，对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（A）。

（A）f(－x1)>f(－x2) （B）f(－x1)10．奇函数y＝f (x)的反函数是y＝f－1(x)，函数y＝f－1(x)在x∈[0, ＋∞)上是减函数，则函数y＝－f (x)在x∈(－∞, 0)上是（A）。

（A）增函数（B）减函数（C）不是单调函数（D）常值函数（二）填空题：

11．已知偶函数f(x)在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数f(l g), f(),f()，

从大到小的顺序是f ()>f (l g)>f()。

12．函数y＝x＋在区间[2, 5]上的最大值为；最小值为。

13．如果函数f (x)＝x2·(＋m)为奇函数，则m的值为。

14．若函数p(x)、q(x)均为奇函数，f(x)＝a·p(x)＋b·q(x)＋2 (a2＋b2≠0, a, b为常数)且f (x)在(0, ＋∞)上有最大值5，则f (x)的最小值为－1 。（三）解答题：

15．判断函数f (x)＝ (a≠0)在区间(－1，1)上的单调性。

解：设－1f (x1)－f (x2)＝－＝,

∵x12－1<0, x22－1<0, x1x2＋1<0, x2－x1>0, ∴>0,

∴当a>0时, f (x1)－f (x2)>0, 函数y＝f (x)在(－1, 1)上为减函数，

当a<0时, f (x1)－f (x2)<0, 函数y＝f (x)在(－1, 1)上为增函数。

16．设函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞, 0)内单调递增,

f(2a2＋a＋1)解：函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞, 0)内单调递增,∴在区间(0, ＋∞)上递减，又∵2a2＋a＋1>0, 3a2－2a＋1>0, f(2a2＋a ＋1)∴2a2＋a＋1>3a2－2a＋1, 解得0∴函数y＝在(0, )上递增，在(, 3)上递减。

17．已知函数f (x)＝ (x≥1)，试求出f (x)的反函数y＝f(x)的单调区间。解：函数f (x)＝ (x≥1)的值域为0≤y<1, 它的反函数f－1(x)＝ 0≤x<1,

用函数增减性的定义证明该函数在0≤x<1上是增函数。

解2：考虑原函数的增减性，f (x)＝(1－)2, 当x>1时, y＝f (x)为增函数，∴它的反函数也是增函数。

18．设函数y＝f(x)是奇函数，对于任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f (y)，且当x>0时, y<0, f(1)＝－2，求函数y＝f(x)在区间[－3, 3]上的最大值和最小值。

解：设x1, x2∈[－3, 3], 且x10,

∴f(x2)－f (x1)＝f (x2－x1＋x1)－f (x1)＝ f (x2－x1)＋f (x1)－ f (x1)＝ f (x2－x1)<0,

∴函数y＝f (x)为减函数，

∴当x＝3时, f (3)＝3f (1)＝－6, 为最小值；当x＝－3时, f (－3)＝3f (－1)＝6 为最大值。

19．已知函数f (x)＝4－x2, 求函数f (x2－2x－3)的递增区间。

解：设F(x)＝ f (x2－2x－3)＝f (u), u＝x2－2x－3,对于函数u＝x2－2x－3，当x≥1时, 函数u为增函数，当x<1时, 函数u为减函数，

对于函数f(u)＝4－u2, 当u≥0时, f(u)为减函数，当u<0时, f(u)为增函数，

∴当x≥3时, 函数u为增函数且u≥0, f (u)为减函数，此时F(x)为减函数，当1≤x≤3时, 函数u为增函数且u≤0, f (u)为增函数，此时F(x)为增函数，当－1≤x≤1时, 函数u为减函数且u≤0, f (u)为增函数，此时F(x)为减函数,当x≤－1时, 函数u为减函数且u≥0, f (u)为减函数，此时F(x)为增函数，综上得，函数f (x2－2x－3)的递增区间是[1, 3]与(－∞, －1].下载本文