一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1．（2分）下列各数中，为无理数的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．（2分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）

A．1，2，    B．6，8，10    C．5，12，16    D．3，4，5

4．（2分）下列命题中，是真命题的是（　　）

A．同旁内角互补    

B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和    

C．是最简二次根式    

D．两直线平行，内错角相等

5．（2分）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，

A．6h，7h    B．6h，6h    C．7h，6h    D．7h，7h

6．（2分）若点A（﹣1，3）在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（　　）

A．    B．    C．y＝﹣3x    D．y＝3x

7．（2分）是下列哪个方程的一个解（　　）

A．﹣2x+y＝﹣3    B．3x+y＝6    C．6x+y＝8    D．﹣x+y＝1

8．（2分）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝60°，∠E＝25°，则∠C的度数为（　　）

A．50°    B．65°    C．35°    D．15°

9．（2分）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过A（﹣20，0），B（20，20）两点，则弹簧不挂物体时的长度是（　　）

A．9cm    B．10cm    C．10.5cm    D．11cm

10．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）4是 　   　的算术平方根．

12．（3分）点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为　   　．

13．（3分）一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x＝　   　．

14．（3分）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：

15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　   　（结果保留根号）．

16．（3分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 　   　万人．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．（6分）解方程组：．

18．（8分）计算：

（1）2﹣+3；

（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2

19．（8分）已知有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要100元，求需要投入多少元经费？

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝44°，BD平分∠ABC，∠C＝60°，∠BDE＝22°．

（1）求证：DE∥AB；

（2）求∠ADB的度数．

21．（8分）小明八年级上学期的数学成绩如下表所示：

（2）如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算的，请计算出小明该学期的数学总评成绩．

五、（本题10分）

22．（10分）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，OA＝15，OC＝9，在边AB上取一点E，使△CBE沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．

（1）请直接写出点A的坐标 　   　、点C的坐标 　   　和点B的坐标 　   　；

（2）求点D的坐标；

（3）请直接写出点E的坐标．

六、（本题10分）

23．（10分）在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发一箱该种葡萄的利润是30元．

（1）已知该水果店元日放假三天卖出100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？（要求：列二元一次方程组解应用问题）

（2）现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？

七、（本题12分）

24．（12分）如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B（4，0），C（﹣1，5），直线l1与l2交于点D．

（1）求直线l2的函数表达式；

（2）求△ADB的面积；

（3）在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

八、（本题12分）

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝6，OC＝5．

（1）请直接写出点A的坐标 　   　和点B的坐标 　   　；

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点M，交边OC或边BC于点N．设点P的横坐标为t，线段MN的长度为a．已知t＝4时，直线l恰好过点C．

①请直接写出点C的坐标；

②当0＜t＜3时，求a关于t的函数关系式；

③当a＝时，请直接写出点P的横坐标t的值．

2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1．（2分）下列各数中，为无理数的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：，，是有理数，是无理数．

故选：C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．

【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．

故选：D．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3．（2分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）

A．1，2，    B．6，8，10    C．5，12，16    D．3，4，5

【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断哪个选项中的三条边的长度不能组成直角三角形，从而可以解答本题．

【解答】解：12+22＝（）2，故选项A不符合题意；

62+82＝102，故选项B不符合题意；

52+122≠162，故选项C符合题意；

32+42＝52，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．

4．（2分）下列命题中，是真命题的是（　　）

A．同旁内角互补    

B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和    

C．是最简二次根式    

D．两直线平行，内错角相等

【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．

【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；

B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题；

C、，不是最简二次根式，原命题是假命题；

D、两直线平行，内错角相等，是真命题；

故选：D．

【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．

5．（2分）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，

A．6h，7h    B．6h，6h    C．7h，6h    D．7h，7h

【分析】直接根据众数和中位数的概念求解即可．

【解答】解：由表可知，数据6出现次数最多，有6次，

所以这组数据的众数为6h，

这组数据的中位数是第8个数据，而第8个数据是6h，

所以这组数据的中位数是6h，

故选：B．

【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．

6．（2分）若点A（﹣1，3）在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（　　）

A．    B．    C．y＝﹣3x    D．y＝3x

【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，然后把A点坐标代入求出k即可．

【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，

把A（﹣1，3）代入得﹣k＝3，解得k＝﹣3，

所以正比例函数解析式为y＝﹣3x．

故选：C．

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：正比例函数的解析式设为y＝kx，然后利用一组对应值求出k，从而求出正比例函数解析式．

7．（2分）是下列哪个方程的一个解（　　）

A．﹣2x+y＝﹣3    B．3x+y＝6    C．6x+y＝8    D．﹣x+y＝1

【分析】将分别代入四个选项，判断等式是否成立即可．

【解答】解：将分别代入四个选项：

﹣2×2+1＝﹣3，故A选项正确；

3×2+1＝7，故B选项不正确；

6×2+1＝13，故C选项不正确；

﹣2+1＝﹣1，故D选项不正确；

故选：A．

【点评】本题考查二元一次方程的解；理解二元一次方程与二元一次方程的解的关系是解题的关键．

8．（2分）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝60°，∠E＝25°，则∠C的度数为（　　）

A．50°    B．65°    C．35°    D．15°

【分析】由平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．

【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝60°

∴∠DOE＝∠A＝60°，

∵∠E＝25°，

∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝60°﹣25°＝35°，

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，综合运用性质定理是解答此题的关键．

9．（2分）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过A（﹣20，0），B（20，20）两点，则弹簧不挂物体时的长度是（　　）

A．9cm    B．10cm    C．10.5cm    D．11cm

【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出x＝0时，y的值即可．

【解答】解：设y与x的关系式为y＝kx+b，

∵图象经过（﹣20，0），（20，20），

∴，

解得：，

∴y＝x+10，

当x＝0时，y＝10，

即弹簧不挂物体时的长度是10cm．

故选：B．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．

10．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组的解是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】方程组的解是一次函数的交点坐标即可．

【解答】解：∵直线y＝2x经过（1，a）

∴a＝2，

∴交点坐标为（1，2），

∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，

∴方程组的解，

故选：A．

【点评】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是一次函数的交点坐标．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）4是 　16　的算术平方根．

【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：∵42＝16，

∴4是16的算术平方根．

故答案为：16．

【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．

12．（3分）点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣3，﹣5）　．

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．

【解答】解：点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5）．

故答案为：（﹣3，﹣5）．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13．（3分）一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x＝　2　．

【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以计算出x的值，本题得以解决．

【解答】解：∵一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，

∴1+3+x+4+5＝3×5，

解得x＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，计算出x的值．

14．（3分）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：

【分析】根据该班共有40名同学捐款且捐款总额为100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：∵该班共有40名同学为“希望工程”捐款，

∴6+x+y+4＝40；

∵该班捐款总额为100元，

∴1×6+2x+3y+4×7＝100．

∴根据题意，可列二元一次方程组为．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　3　（结果保留根号）．

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．

【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．

∵AB＝π•＝3，CB＝3．

∴AC＝＝3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

16．（3分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 　4　万人．

【分析】由接种速度＝接种人数÷接种天数解答出a的值，再利用待定系数法求解y关于x的函数解析式．将x＝80代入上述解析式得出y＝36，然后由40﹣36＝4．

【解答】解：乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），

∴0.5a＝30﹣5，解得a＝50．

设y＝kx+b，将（50，30），（100，40）代入解析式得：

，

解得，

∴y＝x+20（50≤x≤100）．

把x＝80代入y＝x+20得y＝×80+20＝36，

∴40﹣36＝4（万人）．

故答案为：4．

【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．（6分）解方程组：．

【分析】由方程组中的第一个方程可得y＝2x﹣3，再利用代入消元法求解即可．

【解答】解：，

由①得y＝2x﹣3③，

把③代入②，得7x﹣3（2x﹣3）＝20，

解得x＝11，

把x＝11代入③，得y＝19，

所以方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18．（8分）计算：

（1）2﹣+3；

（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2

【分析】（1）先化简，然后根据二次根式的加减法可以解答本题；

（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．

【解答】解：（1）2﹣+3

＝4﹣+

＝；

（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2

＝5﹣2﹣3+2﹣1

＝2﹣1．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

19．（8分）已知有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要100元，求需要投入多少元经费？

【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．

【解答】解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC

＝×4×3+×12×5

＝36，

故36×100＝3600（元），

答：需要投入3600元经费．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系证明直角三角形是解题关键．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝44°，BD平分∠ABC，∠C＝60°，∠BDE＝22°．

（1）求证：DE∥AB；

（2）求∠ADB的度数．

【分析】（1）先根据角平分线的性质得到∠ABD＝∠CBD＝22°，则∠ABD＝∠BDE，然后根据平行线的判定方法得到结论；

（2）利用三角形外角性质计算∠ADB的度数．

【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×44°＝22°，

∵∠BDE＝22°，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴DE∥AB；

（2）解：∠ADB＝∠CBD+∠C

＝22°+60°

＝82°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的判定与性质．

21．（8分）小明八年级上学期的数学成绩如下表所示：

（2）如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算的，请计算出小明该学期的数学总评成绩．

【分析】（1）根据平均数的求法列式进行计算即可得解；

（2）用各自小明的成绩，分别乘以权重，列式计算即可得解．

【解答】解：（1）小明该学期的数学平时平均成绩＝×（106+102+115+109）＝×432＝108（分）；

答：小明该学期的数学平时平均成绩是108分；

（2）小明该学期的数学总评成绩是：

108×10%+112×20%+110×70%

＝10.8+22.4+77

＝110.2（分），

答：小明该学期的数学总评成绩是110.2分．

【点评】本题考查了加权平均数的求法，扇形统计图，根据扇形统计图得到总评成绩三部分的权重是解题的关键．

五、（本题10分）

22．（10分）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，OA＝15，OC＝9，在边AB上取一点E，使△CBE沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．

（1）请直接写出点A的坐标 　（15，0）　、点C的坐标 　（0，9）　和点B的坐标 　（15，9）　；

（2）求点D的坐标；

（3）请直接写出点E的坐标．

【分析】（1）根据矩形的性质即可解决问题；

（2）根据折叠的性质和勾股定理即可得OD的长，进而可得点D的坐标；

（3）根据折叠的性质和勾股定理即可得DE的长，进而可得点E的坐标．

【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴BC＝OA＝15，BA＝OC＝9，

∴点A的坐标（15，0）、点C的坐标（0，9）和点B的坐标（15，9）；

故答案为：（15，0）、（0，9）、（15，9）；

（2）由折叠可知：CD＝CB＝15，

在Rt△OCD中，根据勾股定理，得

OD＝＝＝12，

∴点D的坐标（12，0）；

（3）在Rt△AED中，AD＝OA﹣OD＝15﹣12＝3，AE＝AB﹣BE＝9﹣BE＝9﹣DE，

根据勾股定理，得

AD2+AE2＝DE2，

∴32+（9﹣DE）2＝DE2，

解得DE＝5，

∴AE＝9﹣DE＝4，

∴点E的坐标为（15，4）．

【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化﹣对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质．

六、（本题10分）

23．（10分）在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发一箱该种葡萄的利润是30元．

（1）已知该水果店元日放假三天卖出100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？（要求：列二元一次方程组解应用问题）

（2）现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？

【分析】（1）零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄y箱，根据葡萄总共100箱，和共获利润3600元，建立二元一次方程组，求解即可；

（2）设零售该种葡萄a箱，则批发该种葡萄（1000﹣a）箱，利润为W元，可以用a表示W，根据一次函数的增减性可解答．

【解答】解：（1）设零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄y箱，由题意可得，

，解得，

∴零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱；

（2）设零售该种葡萄a箱，则批发该种葡萄（1000﹣a）箱，利润为W元，

由题意可得，W＝60a+30（1000﹣a）＝30a+30000，

∵30＞0，

∴W随a的增大而增大，

又∵a≤200，

∴当a＝200时，利润最大为30×200+30000＝36000，

此时1000﹣200＝800（箱），

∴当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元．

【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用等知识，（1）关键是根据题意列出方程组；（2）关键是用a表示出W．

七、（本题12分）

24．（12分）如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B（4，0），C（﹣1，5），直线l1与l2交于点D．

（1）求直线l2的函数表达式；

（2）求△ADB的面积；

（3）在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；

（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；

（3求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和D点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．

【解答】解：（1）设l2的解析式是y＝kx+b，

根据题意得：，解得：，

则函数的解析式是：y＝﹣x+4；

（2）在y＝x+2，中令y＝0，解得：x＝﹣4，则A的坐标是（﹣4，0）．

解方程组，得：，

则D的坐标是（，）．

则S△ADB＝×8×＝；

（3）C（﹣1，5）关于x轴的对称点是C′（﹣1，﹣5），

则设经过C′和点D的函数解析式是y＝mx+n，

则，

解得：，

则直线的解析式是y＝x﹣．

令y＝0，x﹣＝0，解得：x＝．

则E的坐标是（，0）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．

八、（本题12分）

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝6，OC＝5．

（1）请直接写出点A的坐标 　（3，3）　和点B的坐标 　（6，0）　；

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点M，交边OC或边BC于点N．设点P的横坐标为t，线段MN的长度为a．已知t＝4时，直线l恰好过点C．

①请直接写出点C的坐标；

②当0＜t＜3时，求a关于t的函数关系式；

③当a＝时，请直接写出点P的横坐标t的值．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）①作CH⊥x轴于H，如图，先利用勾股定理计算出CH得到C点坐标为（4，﹣3）；

①再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式，直线OA的解析式，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到M，N的坐标，从而得到a关于t的函数关系式；

③利用待定系数法求出直线AB的解析式，直线BC的解析式，然后分类讨论：当0＜t＜3，3≤t＜4，当4≤t＜6时，分别列出方程，然后解方程求出t得到P点坐标．

【解答】解：（1）如图：过点A作AT⊥OB于T．

∵∠OAB＝90°，OA＝AB，OB＝6，AT⊥OB，

∴AM＝OM＝MB＝OB＝3，

∴点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（6，0）；

（2）①作CH⊥x轴于H，如图，

∵t＝4时，直线l恰好过点C，

∴OH＝4，

在Rt△OCH中，CH＝＝＝3，

∴C点坐标为（4，﹣3）；

②设直线OC的解析式为y＝kx，

把C（4，﹣3）代入得4k＝﹣3，解得k＝﹣，

∴直线OC的解析式为y＝﹣x，

设直线OA的解析式为y＝mx，

把A（3，3）代入得3m＝3，解得m＝1，

∴直线OA的解析式为y＝x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴M（t，t），N（t，﹣t），

∴MN＝t﹣（﹣t）＝t，

∴a＝t（0＜t＜3）；

③设直线AB的解析式为y＝px+q，

把A（3，3），B（6，0）代入得：，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，

同理可得直线BC的解析式y＝x﹣9，

当0＜t＜3时，a＝t＝，

解得t＝，

此时P点坐标为（，0）；

当3≤t＜4时，M（t，﹣t+6），N（t，﹣t），

∴a＝﹣t+6﹣（﹣t）＝﹣t+6，

∵a＝，

∴﹣t+6＝，

解得t＝12（不合题意舍去）；

当4≤t＜6时，M（t，﹣t+6），N（t，t﹣9），

∴a＝﹣t+6﹣t+9＝﹣t+15，

∵a＝，

∴＝﹣t+15，

解得t＝5，此时P点坐标为（5，0），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，0）或（5，0）．

【点评】本题是属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．下载本文