一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知直线l1：x+ay+6＝0和直线l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0，若l1∥l2，则a＝（ ）
A．3 B．﹣1或3 C．﹣1 D．1或﹣3
2．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（ ）
A． B．2 C． D．5
3．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab．若椭圆的离心率为，面积为2π，则椭圆的标准方程为（ ）
A．+y2＝1或+x2＝1
B．＝1或＝1
C．＝1或＝1
D．或＝1
5．已知焦点在x轴上的椭圆＝1的离心率为，则实数m等于（ ）
A．2 B．8 C．4+2 D．4﹣2
6．已知点（4，2）是直线l被椭圆+＝1所截的线段的中点，则直线l的方程是（ ）
A．x﹣2y＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x+3y+4＝0 D．x+2y﹣8＝0
7．椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，l：x＝﹣，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（，1） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
8．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（ ）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线a∥平面α
B．若，则直线a⊥平面α
C．若cos＜，＞＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos＜，＞＝，则平面α，β的夹角为
10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，﹣2），半径为1
B．直线AB的方程为x﹣2y﹣4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a﹣b的最大值为
11．已知点M（1，0），A，B是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若点A（2，a）到直线l：x﹣2y+3＝0距离为，则a＝ ．
14．过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k＝0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2＝9相切于点N，则|MN|＝ ．
15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（a，0，a）、（0，a，a）、（a，a，0），则该四面体的内切球与外接球体积之比为 ．
16．设P是椭圆M：＝1上的任一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2＝1的任一条直径，则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在三角形ABC中，已知点A（4，0），B（﹣3，4），C（1，2）．
（1）求BC边上中线的方程．
（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
18．如图1，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝3，AC＝4．如图2，将△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B﹣MA﹣C为90°，再过点B作BD∥AC，连接AD，CD，MD，且，∠CAD＝30°．
（1）求证：CD⊥平面MAD；
（2）在线段MD上取一点E使＝，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值．
19．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
20．已知椭圆G：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
22．已知椭圆C的上顶点到左焦点F（﹣1，0）的距离为．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB＝180°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
参
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知直线l1：x+ay+6＝0和直线l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0，若l1∥l2，则a＝（ ）
A．3 B．﹣1或3 C．﹣1 D．1或﹣3
【分析】利用两条直线平行与斜率的关系即可得出．
解：∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴．
∴，化为a2﹣2a﹣3＝0．
解得a＝3或﹣1．
当a＝3时，l1与l2重合，应舍去．
∴a＝﹣1．
故选：C．
2．已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，那么||等于（ ）
A． B．2 C． D．5
【分析】利用向量且⊥，求出x，然后利用向量的模长公式求||的长度．
解：因为＝（﹣1，2，1），＝（3，x，1），且⊥，
所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即x＝1，所以＝（3，1，1），
所以，
故选：C．
3．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据点P为棱BC的中点，则＝（+），然后利用空间向量的基本定理，用，，表示向量即可．
解：∵点P为棱BC的中点，
∴＝（+），
∴＝＝（+）﹣，
又∵，，，
∴＝（+）﹣＝﹣++．
故选：B．
4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab．若椭圆的离心率为，面积为2π，则椭圆的标准方程为（ ）
A．+y2＝1或+x2＝1
B．＝1或＝1
C．＝1或＝1
D．或＝1
【分析】利用题中给出的已知条件结合面积公式，确定椭圆方程中的基本量a，b的值，即可得到答案．
解：因为离心率为，则有，
所以a＝2c，
又椭圆的面积为S＝πab＝π，
所以，
又a2＝b2+c2，
解得a2＝4，b2＝3，
故椭圆的方程为＝1或＝1．
故选：B．
5．已知焦点在x轴上的椭圆＝1的离心率为，则实数m等于（ ）
A．2 B．8 C．4+2 D．4﹣2
【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．
解：由题意焦点在x轴上的椭圆＝1的离心率为，
得，解得m＝8．
故选：B．
6．已知点（4，2）是直线l被椭圆+＝1所截的线段的中点，则直线l的方程是（ ）
A．x﹣2y＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x+3y+4＝0 D．x+2y﹣8＝0
【分析】利用“点差法”即可得出直线l的斜率，利用点斜式即可得出方程．
解：设直线l与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入椭圆方程可得，，
两式相减得，
∵x1+x2＝2×4＝8，y1+y2＝2×2＝4，，
∴，解得kl＝．
∴直线l的方程是，
即x+2y﹣8＝0．
故选：D．
7．椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，l：x＝﹣，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（，1） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
【分析】椭圆上动点P横坐标满足：﹣a≤x≤a，结合PQF1F2是平行四边形，得|PQ|＝|F1F2|＝x+＝2c，所以x＝2c﹣，由此建立关于ac的不等式，解之再结合椭圆离心率的取值范围，可求得结论．
解：根据题意，得
∵点P是椭圆上的动点
∴P点横坐标x满足：﹣a≤x≤a（等号不能成立）
∵四边形PQF1F2为平行四边形，
∴|PQ|＝|F1F2|＝2c
∵左准线方程为x＝﹣，|PQ|＝x+＝2c，∴x＝2c﹣，
因此可得﹣a＜2c﹣＜a，
各项都除以a，得﹣1＜2e﹣＜1
解不等式，得＜e＜1．
故选：A．
8．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（ ）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
【分析】设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．
解：设P1＝fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足
∵Q1＝fβ[fα（P）]＝fβ（P1），
∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足
同理，若P2＝fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q2＝fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ1＝PQ2，
∴点Q1与Q2重合于同一点
由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线a∥平面α
B．若，则直线a⊥平面α
C．若cos＜，＞＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos＜，＞＝，则平面α，β的夹角为
【分析】直接利用法向量和线面夹角及面面夹角的应用判定A、B、C、D的结论．
解：直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，，
对于A：若，直线a⊄平面α，则直线a∥平面α，故A错误；
对于B：若，则直线a⊥平面α，故B正确；
对于C：若cos＜，＞＝，则直线a与平面α的法向量的夹角为，则直线a与平面α所成角的大小为，故C正确；
对于D：若cos＜，＞＝，由于平面α和β的夹角为直角和锐角，则平面α，β的夹角为，故D正确．
故选：BCD．
10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，﹣2），半径为1
B．直线AB的方程为x﹣2y﹣4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a﹣b的最大值为
【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a﹣b的范围判断D．
解：由圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，得（x﹣1）2+（y+2）2＝1，
则圆M的圆心为（1，﹣2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x﹣2y﹣4＝0，故B正确；
圆心O到直线x﹣2y﹣4＝0的距离d＝，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2＝，故C错误；
令t＝2a﹣b，即2a﹣b﹣t＝0，由M（1，﹣2）到直线2x﹣y﹣t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a﹣b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．已知点M（1，0），A，B是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及二次函数的性质，即可求解．
解：设A（x0，y0），且，
∵＝＝＝＝①，
将A点坐标代入椭圆，可得，
则代入①可得，＝＝（﹣2≤x0≤2），
故，，对照选项， 可以取ABC．
故选：ABC．
12．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得，b＝c，再结合椭圆的性质，即可求解．
解：∵椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，
∴2b＝2c，即2b＝2c，
对于A，a2＝8，b2＝4，故c2＝a2﹣b2＝4，故b＝c，故A正确，
对于B，a2＝5，b2＝3，故c2＝a2﹣b2＝2，故b≠c，故B错误，
对于C，a2＝6，b2＝3，故c2＝a2﹣b2＝3，故b＝c，故C正确，
对于D，a2＝9，b2＝6，故c2＝a2﹣b2＝3，故b≠c，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若点A（2，a）到直线l：x﹣2y+3＝0距离为，则a＝ 0或5 ．
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．
解：A（2，a）到直线l：x﹣2y+3＝0的距离：
d＝＝．解得a＝0或a＝5．
故答案为：0或5．
14．过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k＝0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2＝9相切于点N，则|MN|＝ 4 ．
【分析】求出直线结果的定点，圆的圆心与半径，利用直线与圆的相切关系求解即可．
解：直线：kx﹣y+1﹣2k＝0过定点M（2，1），（x+1）2+（y﹣5）2＝9的圆心（﹣1，5），半径为：3；
定点与圆心的距离为：＝5．
过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k＝0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2＝9相切于点N，
则|MN|＝＝4．
故答案为：4．
15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（a，0，a）、（0，a，a）、（a，a，0），则该四面体的内切球与外接球体积之比为 ．
【分析】判断几何体的形状，然后求解四面体的内切球与外接球体积之比即可．
解：由题意可知几何体是正四面体，棱长为：a，扩展为棱长为a的正方体，
外接球的半径就是正方体的体对角线的长度的一半，半径为：a，
正四面体的体积为：a3﹣4×＝，设正四面体的内切球的半径为r，可得＝，
解得r＝，
该四面体的内切球与外接球体积之比为半径比：＝．
故答案为：．
16．设P是椭圆M：＝1上的任一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2＝1的任一条直径，则的最大值为 8 ．
【分析】由题意画出图形，利用向量的加法、减法及数量积运算把变形，转化为求的最大值求解．
解：设P（x0，y0），则，即，
＝＝
＝．
由圆N：x2+（y﹣2）2＝1，得N（0，2），
∴＝．
由题意，y0∈[﹣1，1]，∴当y0＝﹣1时，取得最大值9，
则的最大值为8．
故答案为：8．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在三角形ABC中，已知点A（4，0），B（﹣3，4），C（1，2）．
（1）求BC边上中线的方程．
（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
【分析】（1）求得线段BC的中点坐标，再结合点A的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；
（2）分两类：①当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，代入点B（﹣3，4），求出k的值；②当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为+＝1，代入点B（﹣3，4），求得m的值，得解．
解：（1）∵B（﹣3，4），C（1，2），
∴线段BC的中点D的坐标为（﹣1，3），
又BC边上的中线经过点A（4，0），
∴该中线的方程为y＝（x﹣4），即3x+5y﹣12＝0．
（2）当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，
代入点B（﹣3，4），则4＝﹣3k，解得k＝﹣，
所以所求直线的方程为y＝﹣x，即4x+3y＝0；
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为+＝1，
代入点B（﹣3，4），则，解得m＝，
所以所求直线的方程为＝1，即x+2y﹣5＝0，
综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y﹣5＝0．
18．如图1，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝3，AC＝4．如图2，将△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B﹣MA﹣C为90°，再过点B作BD∥AC，连接AD，CD，MD，且，∠CAD＝30°．
（1）求证：CD⊥平面MAD；
（2）在线段MD上取一点E使＝，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值．
【分析】（1）由余弦定理求出CD＝2，由勾股定理求出AD⊥DC，由MA⊥AB，MA⊥AC，得MA⊥平面ABCD，从而CD⊥MA，由此能证明CD⊥平面MAD．
（2）以A为坐标原点，AB，AC，AM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面MBD所成角的正弦值．
解：（1）证明：在△ADC中，AC＝1，AD＝2，∠CAD＝30°，
∴CD＝＝2，
∴AD2+CD2＝AC2，∴AD⊥DC，
∵MA⊥AB，MA⊥AC，AB∩AC＝A，∴MA⊥平面ABCD，
∵CD⊂平面ABDC，∴CD⊥MA，
∵AD∩MA＝A，∴CD⊥平面MAD．
（2）由题意知AM，AB，AC两两垂直，∠BAD＝60°，
如图，以A为坐标原点，AB，AC，AM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（，0，0），D（，3，0），M（0，0，3），
＝（，0，﹣3），＝（0，3，0），
设E（x0，y0，z0），由，得（x0，y0，z0﹣3）＝（），
解得，∴＝（，1，2），
设平面MBD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，0，1），
设直线AE与平面MBD所成角为θ，
则直线AE与平面MBD所成角的正弦值为：
sinθ＝|cos＜＞|＝＝．
19．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
【分析】（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝．由两点距离公式，能求出动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由A（2，0），且N为线段AM的中点，知x1＝2x﹣2，y1＝2y，由M是圆x2+y2＝16上的点，知M坐标（x1，y1）满足：x12+y12＝16，由此能求出点N的轨迹．
解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P＝．（1分）
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为，
平方后再整理，得x2+y2＝16．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．
由于A（2，0），且N为线段AM的中点，所以，
所以有x1＝2x﹣2，y1＝2y①
由（1）题知，M是圆x2+y2＝16上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足：x12+y12＝16②
将①代入②整理，得（x﹣1）2+y2＝4．
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆
20．已知椭圆G：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c＝，可求出a的值，再根据b2＝a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
解：（Ⅰ）由已知得，c＝，，
解得a＝，又b2＝a2﹣c2＝4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0＝＝﹣，
y0＝x0+m＝，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝，
解得m＝2．
此时方程①为4x2+12x＝0．
解得x1＝﹣3，x2＝0，
所以y1＝﹣1，y2＝2，
所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y＝x+2距离d＝，
所以△PAB的面积s＝|AB|d＝．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF；
（II）建立坐标系，求出平面BCD的法向量，通过计算与的夹角得出二面角的大小；
（III）计算与的数量积即可得出结论．
【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB＝BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．
（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴＝（﹣2，1，0），＝（0，﹣2，1），
设平面BCD的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝2可得＝（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1，
∴＝（2，0，0）为平面CD﹣C1的一个法向量，
∴cos＜，＞＝＝＝．
由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角，
∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．
（III）证明：F（0，0，2），G（2，0，1），∴＝（2，0，﹣1），
∴•＝2+0﹣4＝﹣2≠0，
∴与不垂直，
∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，
∴FG与平面BCD相交．
22．已知椭圆C的上顶点到左焦点F（﹣1，0）的距离为．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB＝180°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），椭圆可得关于a，b的方程，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出椭圆C的方程；
（2）由题意A（0，1），F（﹣1，0），得kAF＝1，从而kBF＝﹣1，可得直线BF为：y＝﹣x﹣1，代入椭圆方程，求得B点坐标，由此能求出直线AB的方程；
（3）由∠OFA+∠OFB＝180°，知B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y＝k（x+1），联立直线方程与椭圆方程，得关于x的一元二次方程，由直线方程的点斜式求得动直线l的方程，结合根与系数的关系，即可证明存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．
解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），
由题意可得，，解得a2＝2，b2＝1．
∴椭圆C的方程为；
（2）由题意A（0，1），F（﹣1，0），
∴kAF＝，
∵∠OFA+∠OFB＝180°．∴kBF＝﹣1，
∴直线BF为：y＝﹣（x+1）＝﹣x﹣1，
代入，得3x2+4x＝0，解得x＝0或x＝﹣，
代入y＝﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，）．
∴，∴直线AB的方程为：y＝x+1；
（3）存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．
证明如下：∵∠OFA+∠OFB＝180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，
设直线AF的方程为y＝k（x+1），
联立，得（）x2+2k2x+k2﹣1＝0，
则，，
由直线AB的斜率，得AB的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1）．
令y＝0，得x＝x1﹣y1•＝，
y1＝k（x1+1），﹣y2＝k（x2+1），
x＝＝＝
＝＝﹣2．
∴对于动直线l，存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．下载本文
