第1讲　三角函数的图象和性质

[做小题——激活思维]

1．已知tan α＝－，且α是第二象限角，那么cos α等于(　　)

A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－

[答案]　B

2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

[答案]　D

3．(2019·济宁一模)若sin x＝3sin，则cos x·cos＝(　　)

A.  B．－  C.  D．－

A　[由sin x＝3sin＝－3cos x，解得tan x＝－3，

所以cos xcos＝－sin xcos x＝＝＝，故选A.]

4．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)

A.  B．3  C．6  D．9

C　[由题意知＝·k(k∈Z)，解得ω＝6k，令k＝1，即得ωmin＝6.]

5．下列函数中同时具有以下性质的是(　　)

①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为.

A．y＝sin      B．y＝sin

C．y＝sin      D．y＝sin

[答案]　C

[扣要点——查缺补漏]

1．同角三角函数基本关系式与诱导公式

(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，如T1.

(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：

奇变偶不变，符号看象限，如T3.

2．三角函数的图象及变换

(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，描出点作图．

(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T4.

特别提醒：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．

3．三角函数的性质

(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asin t的性质．如T2，T5.

(2)数形结合思想研究性质．

　三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5年4考)

[高考解读]　高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合.

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1

切入点：①终边上两点A(1，a)，B(2，b)；

②cos 2α＝.

关键点：用A，B两点坐标表示α的正切值tan α，然后利用弦化切将cos 2α＝用|a－b|表示出来．

B　[由题可知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A．－  B．－  C.  D.

切入点：sin α－cos α＝.

关键点：利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及倍角公式将sin 2α用sin α－cos α表示出来．

A　[∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2＝，∴sin 2α＝－.

故选A.]

[教师备选题]

1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则(　　)

A．sin 2α>0　    B．cos α>0

C．sin α>0      D．cos 2α>0

A　[利用tan α>0，求出角α的象限，再判断．

∵tan α>0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角．

∴sin α，cos α都可正、可负，排除B，C.

而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，

结合正、余弦函数图象可知，A正确．

取α＝，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．]

2．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

[解]　(1)由角α的终边过点P

得sin α＝－，

所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角α的终边过点P，

得cos α＝－.

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α，

得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

三角函数求值与化简的3种方法

(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦；

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化；

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝.

1．(同角三角函数基本关系式的应用)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)

A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－

D　[∵sin α＝－，α为第四象限角，

∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－.故选D.]

2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.

　[由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝.]

3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sin α＋2cos α＝0，则tan α＝________，2sin αcos α－cos2α＝________.

－2　－1　[由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.

∴2sin αcos α－cos2α＝

＝＝＝＝－1.]

4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈.若cos＝－，则x0的值为________．

－　[因为点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，所以由三角函数的定义知x0＝cos α.因为α∈，所以α＋∈，又cos＝－，所以sin＝，所以x0＝cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－.]

　三角函数的图象及应用(5年3考)

[高考解读]　高考对该部分内容的考查主要有两种方式：(1)考查三角函数图象变换；(2)由图定式并与三角函数的性质相结合.预计2020年还会这样考查.

1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

A　[由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，

T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

故选A.]

2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin      B．y＝2sin

C．y＝2sin      D．y＝2sin

切入点：①y＝2sin；

②向右平移个周期．

关键点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象平移规律．

D　[先求出函数的周期，再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解析式．

函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

切入点：图象与x轴交于点，.

关键点：逆用五点作图求解析式．

D　[由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．

由题图知，周期T＝2＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

∴f(x)＝cos.

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]

[教师备选题]

1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

　[首先利用辅助角公式将函数y＝sin x－cos x化为正弦型函数，再进行平移变换．

∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象向右平移个单位长度得到．]

2．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

(2)由(1)知f(x)＝5sin，

因此，g(x)＝5sin＝5sin.

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，

令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，

即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.

1．图象变换抓“实质”

图象变换的实质——点的坐标变换．三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．

2．由“图”定“式”找“对应”

由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．

(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.

(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.

(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．

1．(图象变换)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

B　[因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos＝2cos，所以要得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选B.]

2．(由图定式)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω＞0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　)

A.  B.π  C.  D.π

C　[由题图知，T＝2＝π，

∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，

∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，

∴f＝－2cos＝2，

故＋2φ＝π＋2kπ(k∈Z)，

∴φ＝＋kπ(k∈Z)．

又0＜φ＜，∴φ＝.故选C.]

3．(由图定式与三角函数性质的综合问题)已知P是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f(x)的图象的对称中心可以是(　　)

A．(0,0)      B．(1,0)

C．(2,0)      D．(3,0)

C　[由题设知，A＝2，函数f(x)的最小正周期为6，所以＝6，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，将P代入，可得2sin＝2，故可取φ＝，所以f(x)＝2sin，令x＋＝kπ(k∈Z)，可得x＝3k－1(k∈Z)，结合选项，可知C正确，故选C.]

4．(图象与解析式)已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.

　[由消去y，得sin ωx－cos ωx＝0，即sin＝0，解得x＝＋，k∈Z.

取k＝0,1，可得距离最短的两个交点的坐标为，，又两交点的距离为2，所以2＋(＋)2＝(2)2，解得ω＝.]

　三角函数的性质及应用(5年9考)

[高考解读]　高考对该部分的考查多与三角恒等变换相结合，考查三角函数的周期性、单调性和最值问题，预计2020年将会延续上述命题规律.

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

切入点：对f(x)＝2cos2x－sin2x＋2恒等转化．

关键点：将函数解析式转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．

B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，最大值为4.]

2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．π

切入点：①f(x)＝cos x－sin x；②减函数．

关键点：将解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

C　[法一：f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.

法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sinx＋.于是，由题设得f′(x)≤0，即 sinx＋≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]

3．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A.  B．1  C.  D.

切入点：f(x)＝sin＋cos.

关键点：利用三角恒等变换化简解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

A　[法一(辅助角公式法)：∵f(x)＝sin＋cos

＝＋cos x＋sin x

＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x

＝sin x＋cos x＝sin，

∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.

故选A.

法二(角度转换法)：∵＋＝，

∴f(x)＝sin＋cos

＝sin＋cos

＝sin＋sin

＝sin≤.

∴f(x)max＝.

故选A.]

4．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

－4　[∵f(x)＝sin－3cos x

＝－cos 2x－3cos x

＝－2cos2x－3cos x＋1，

令t＝cos x，则t∈[－1,1]，

∴f(x)＝－2t2－3t＋1.

又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且图像的开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]

[教师备选题]

1．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)

A．ω＝，φ＝　    B．ω＝，φ＝－

C．ω＝，φ＝－      D．ω＝，φ＝

A　[∵f＝2，f＝0，

∴f(x)的最小正周期为4＝3π，

∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.

∵f＝2，

∴2sin＝2，

得φ＝2kπ＋，k∈Z.

又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.

故选A.]

2．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

[解]　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x

＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋.

由题意知－≤x≤m.

所以－≤2x－≤2m－.

要使得f(x)在上的最大值为，

即sin在上的最大值为1.

所以2m－≥，即m≥.

所以m的最小值为.

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

1．[一题多解](求函数的单调区间)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

B　[法一：由已知，得f(x)＝2＝2sin，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.

法二：由已知，得f(x)＝2＝－2cos，由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.]

2．(已知函数的单调区间求参数)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　    D．π

C　[由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C.]

3．(求函数的值域或最值)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

A　[函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin＝sin，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，∴f(x)＝sin.

又∵x∈，

∴2x－∈，∴sin∈，

当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.]

4．(函数性质的综合问题)将函数f(x)＝2sin－2cos 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．函数g(x)的最小正周期为2π

B．函数g(x)的最小值为－1

C．函数g(x)的图象关于x＝对称

D．函数g(x)在上单调递减

C　[函数f(x)＝2×－2cos 2x＝sin 2x＋cos 2x－2cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝g(x)＝2sin＝2sin的图象，则函数g(x)的最小正周期T＝＝π，g(x)的最小值为－2，g(x)的图象的对称轴为2x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝为g(x)的图象的一条对称轴，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，函数g(x)在上单调递减，故选C.]下载本文