----十字模型
类型一 正方形中的十字模型
【模型分析】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是CD、AD上的两点，若AE⊥BF，则△ABF≌△DAE．
【模型拓展】
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边CD、AD、BC上，AE⊥FG，可考虑过点F作FH⊥BC于点H，构造△ADE≌△FHG．
2．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、CD、AD、BC上，EF⊥GH，同理，考虑过点E作EM⊥CD于点M，过点G作GN⊥BC于点N，构造△EMF≌△GNH．
一阶模型迁移练
【模型应用】
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF
(1)如图①，当AE＝BF时，求证：AE⊥BF；
(2)如图②，当AE⊥BF时，求证：AE＝BF．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，点F在AD上，且DF＝3AF，连接EF，点O是EF上一点，过点O作HG⊥EF，交CD于点G，交AB于点H，求HG的长．
3．如图，将正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE＝3，折痕MN的长为，求正方形ABCD的面积．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝3，D为BC边上的中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，求BF的长．
二阶综合强化练
1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE与对角线BD交于点M，过点M作AE的垂线分别交AB、CD于点F、G，连接AG交BD于点N．
(1)求证：AE＝FG；
(2)求证：BF＋BE＝BM；
(3)若AD＝4，G是边CD的中点，求△DMG的面积．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E、F分别在AB、CD边上，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点M落在AD边上，点C的对应点为点N，MN交CD于点G，连接BM．
(1)连接EG，若点M为AD的中点．
①EM的长为＝____；
②求证：EG＝AE＋DG；
(2)求四边形BCFE面积的最小值．
类型二 矩形中的十字模型
【模型分析】
如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，CE⊥BD，则有△BCD∽△CDE．
【模型应用】
一阶模型迁移练
1．如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E、F分别是AB、AD边上的点，且DE⊥CF，求证：DE＝2CF．
2．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、CD、BC、AD上的点，且EF⊥GH，若＝，EF＝10，求GH的长．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF．已知AD＝5，AB＝3，求折痕CE的长．
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M、N分别在边BC、AB上，且AM⊥DN，求的值．
二阶综合强化练
1．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，DE与CF交于点G，且DE⊥CF．
(1)如图①，若四边形ABCD是矩形．
①求证：△ADE∽△DCF；
②若AB＝6，BC＝9，DG＝2，求EG的长；
(2)如图②，若AB＝BC＝6，AD＝CD＝8，∠BAD＝90°，点E是AB边的中点，求AF的长．
【提示】过点C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M．
2．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E、F分别在边AD、BC上，将该矩形沿EF折叠，使点B的对应点B′落在CD边上，连接BB′．
(1)如图②，当点B′与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB′F的形状，并证明；
(2)求折痕EF的最大值；
(3)如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．
