2、掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路，并会用这些方法证明简单的不等式

一、基本不等式的应用

基本不等式是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。

（一）直接应用基本不等式

 直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。

  例1. 已知a，，求证：。

  证明：由基本不等式得

（二）间接应用基本不等式

 间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。

  例2. 设x>0，求证：。

 分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。

    证明：

    等号成立时

 即

（三）两次应用基本不等式

连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。

例3. 已知a，，且a+b=1，求的最小值。

 错解：因为，所以

 因此

 剖析：出错在于两次等号不能同时取到。

 正解：

 当时

 即，取得最小值。

 例4. 设a>b>0，求的最小值。

 解：由

 此时等号成立条件是即a=2b

 所以

 等号成立条件是

即a=4，此时b=2

变式题1：若x> -1则x取什么值时x+的值最小？最小值是多少？

解：由x+= x+1+-1 （*）

 x>-1     x+1>0

（*）式 -1=1 当且仅当x+1=1即x=0时取最小值。

 x=0时x+取最小值为1。

仔细推敲上两题可发现，x+ =，x+=那么若碰到

变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？

只需将变回到x+便迎刃而解。

甚至可归结出如下一类问题：x取何正值时，（a,b,c>0）的值最小？最小值是多少？

解：=+ (**)

 a,b,c,x>0

 (**)式=,当且仅当=即x=时取最小值。

变式题3：x>0，当x为何值时，取到最大值？最大值是多少？

解：由上题得启示   x>0，==，

当且仅当即x=时取最大值。

变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？

解： x>-1    ==

当且仅当x=0时取最小值1。

同理大家可自己归纳类似变式题2的统一结论（结论略）。大家不妨练习：

当x>-2时的值域。（答案：）

二、不等式的证明

1.证明不等式的基本依据：

    （1）实数大小的比较原则；

    （2）不等式的性质；

    （3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式

    （4）已知函数的增减性；

    （5）实系数一元二次方程的根的判别式.

2.证明不等式的常用的方法:

⑴比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。

⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因

⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。

用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：.综合法的思维特点是：由因导果

例5、设

证明：略（用做差法比较）

变式练习：

三、不等式的应用题

例6、某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？

【答案】温室左侧变长

变式吝惜某工厂第一年产量为A，第二年增长率为，第三年增长率为，这两年的平均增长率为，则有     （    ）

（A）   （B）   （C）   （D）

【答案】B

例7、建造一个容积为，深为的长方形无盖水池，如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池的最低造价。

【答案】1760元

例8、已知直角三角形的斜边为定值，求：（1）这个直角三角形面积的最大值；（2）这个直角三角形周长的最大值。

【答案】（1）  （2）

【例21】已知直角三角形周长为（定值），问直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？

【答案】等腰直角三角形

例9、现要建造一个面积为40平方米的矩形房子，已知围墙每米的造价500元，如何建造，才能使围墙的造价最低，最低造价是多少元？（精确到0.1）

解析：矩形的一条变长为6.3米时，造价最低为129.1元

例10、某造纸长拟建一座占地面积为200平方米的矩形二级污水处理池（如图），池的深度一定，池的外围周壁造价单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚度忽略不计），污水处理池的长为多少米时，可使总造价最低？