第一节 勾股定理
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为的线段
二、平方根：（11——19的平方）
1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
一个正数a的正的平方根，记作“”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—”，这两个平方根合起来记作“±”。（ a叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“”）
②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。
③负数没有平方根。
3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。
4、（1） 平方根是它本身的数是零。
（2）算术平方根是它本身的数是0和1。
（3）
（4）一个数的两个平方根之和为0
三、立方根：（1——9的立方）
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么x就叫做a的立方根。记作“”。
2、立方根的性质：
①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即=
③
3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1，0，-1。
5、平方根和立方根的区别：
（1）被开方数的取值范围不同：在中，，在中，a可以为任意数值。
（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。
6、立方根和平方根：
不同点：
（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；
（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0．
共同点：0的立方根和平方根都是0．
四、实数：
1、定义：有理数和无理数统称为实数
无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。
有理数：有限小数或无限循环小数
注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
2、实数的分类：
实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。
②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。
③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。
④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到
精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
取近似值的方法——四舍五入法
4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法：
把一个数记为
6、实数和数轴：
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。
勾股定理：
（一）结合三角形：
1.已知ABC的三边、、满足，则ABC为 三角形
2.在ABC中，若=（+）（-），则ABC是 三角形，且
3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为
1.已知 与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。
2.已知：在ABC中，三条边长分别为、、，=，=2，=（>1）
试说明：C=。
3.若ABC的三边、、满足条件，试判断ABC的形状。
4.已知则以、、为边的三角形是
（二）、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米
（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）
A. 不能确定
（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：
直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）
A.
变：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。
求证：（1）
（2）
（3）以为三边的三角形是直角三角形
试一试：（1）只需证明，从左边推到到右边
（2）
（3），注意面积关系的应用
3. 爬行距离最短问题：
1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱的中点E，再连结AE、，昆虫乙如果沿途径爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
（2）如图b，假设昆虫甲从点以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？
试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm
3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？
4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）
A.
4.折叠问题：
1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）
A.
1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。
2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。
3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。
（三）求边长：
1. （1）在R中，、、分别是A、B、C的对边，C=
①已知：=6，=10，求； ②已知：=40，=9，求；
2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。
（五）方向问题：
1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？
2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
⑴ 此时轮船离开出发点多少km?
⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
（六）利用三角形面积相等：
1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）
A.
（七）旋转问题：
1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=
2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=，将ABH绕点A逆时针旋转到AC处，若AH=3㎝，试求出H、两点之间的距离。
3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积
已知直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圆心角为，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN的理由。
如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。
已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，不需证明。
试一试：对于第1问，OD=CE，问题的实质是，，对于第二问，通过作辅助线，将问题转化为第1问可解决。
（八）折叠问题：
1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？
2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积
4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
5.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
（1）△ACD是什么三角形？为什么？
（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。
一、平方根：
（一）文字类题目：
一个数的平方等于它本身，这个数是 ；
一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；
一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
一个数的立方根等于它本身，这个数是 ；
一个正数的两个平方根的和是________．
一个正数的两个平方根的商是________．
（二）. 定义：
1.（1） 81 的平方根是的数学表达式是（ ）
A.
的平方根是（ ）
A
表示 ，= 。
16的数是 ，将16开平方得 ，因此平方与 互为逆运算。
4的平方根是 ；的平方根是 。 的平方根是0.81。
（2）数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由。
（1）-； （2）（-4）； （3）-5 （4）
（3）若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是
若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。
若式子x－的平方根只有一个，则x的值是 。
（4）已知，那么-=
已知a为实数，那么等于（ ）
A–a C. -1 D. 0
（5）若，则+=
已知，那么+=
已知、满足：，那么-8的立方根为
（6）代数式的最大值是 ，这时、之间的关系是
（7）若，则= ；若，则的平方根是
（8）若，则x= ，，则x=
（9）下列个数中：没有平方根的有 个
2. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足，求c的取值范围。
已知、为实数，且，解关于的方程：（+2）+=-1。
已知4-49=0，求的值。
3. 列方程求值：
（1）=196； （2）5-10=0； （3）36（-3）-25=0
4. （1）已知一个正数的平方根是2-1和3-，求这个数
（2）已知与是一个数的两个平方根，求的平方根。
5. 估算：
（1）比较大小：
①与 ②与
（2）a、b为两个连续的整数，且，则=
满足- A. 6. 计算： （1） （2）、下列计算正确的是（ ） A、 B、 、 、 7. 平方根的性质： ； ；= ； = ； ；= 。 二、立方根 1. 定义： （1）如果a是x的立方根，那么下列说法正确的是（ ） A. –a也是x的立方根 –a是-x的立方根 C. a是-x的立方根 –a和a都是-x的立方根 （2）下列各式：，其中错误的有 个 2. 根据定义求值： （1）求值： （2） （2）方程： 3. 估算： （1）估计68的立方根大小在（ ） A. 2与3之间 与4之间 与5之间 与6之间 （2）通过估算的整数部分为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 （3）估算到个位= 4. 平方根与立方根相结合： （1）若2x+1的平方根是，那么5x+4的立方根是 （2）已知，求的值。 （3）已知m满足，k、n满足，求的值 三、实数： 1. 实数的定义： 1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）无限小数是无理数； （2）有理数都是是有限小数； （3）无理数都是无限小数； （4）带根号的数都是无理数 （5）任何实数的偶次幂都是正实数； （6）在实数范围内，若，则=。 （7）0是最小的实数； （8）0是绝对值最小的实数； （9）数轴上的点与有理数是一一对应的 （10）数轴上的点与实数是一一对应的 2.下列说法正确的是 （ ） A.不存在最小的实数 有理数是有限小数 C.无限小数都是无理数 带根号的数都是无理数 3.下列说法正确的是（ ） A.无限小数是无理数 不循环小数是无理数 C.无理数的相反数还是无理数 两个无理数的和还是无理数 4. 把下列各数填入相应的集合内： 、、0、、、、3.14159、-0.020020002 0.12121121112…… （1）有理数集合 （2）无理数集合 （3）正实数集合 （4）负实数集合 2. 有效数字、科学记数法、近似数： 注意：2000有4个有效数字，精确到个位 有1个有效数字，精确到千位 1. 有几个有效数字，保留几个有效数字： 用四舍五入法，按要求取近似值：. ①地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字） ②25.8万（保留2个有效数字） ③小明身高1.595m（保留3个有效数字） ④0.0608，0.060800 2.精确到哪一位： 由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ ①小明身高1.59m； ②地球的半径约为6.4×103； ③组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm； ④某种电子显微镜的分辨率为1.4×10-8； ⑤70万 ⑥9.03万 ⑦1.8亿 ⑧ ⑨0.090080 3.精确到0.1，0.01等： ①精确到个位（或精确到1）是 π精确到十分位（或精确到0.1）是 π精确到百分位（或精确到0.01）是 π精确到千分位（或精确到0.001）是 小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg，按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数： ①精确到0②精确到0③精确到1kg. ②某人一天饮水10ml（精确到1000ml） ③的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001） 4.科学记数法： （1）用科学记数法表示91800000，正确的是（ ） A、918× B、91.8× C、9.18× D、9.18× （2）一个数用科学记数法记为6×，这个数原来怎么记？它是几位整数？ 一个数用科学记数法记为6.09×，这个数原来怎么记？它是几位整数？ 一个数用科学记数法记为6.00009×，这个数原来怎么记？它有几位整数？ （3）25.8万（保留2个有效数字） （保留3个有效数字） 5.今年全国的消费额为29458.4亿元，小明认为这个数字精确到0.1亿元，而小亮认为这个数字精确到1000万元，你认为谁的说法对？为什么？ 小亮，数位只存在个、十、百、千、万、十万等，不存在0.1万之类的下载本文
