数 学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数)在区间的图像如下：那么＝（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：由图象知函数的周期，所以
2．已知复数，则=（ ）
A． B． C． D．
解：，，故选B
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：设顶角为C，因为，由余弦定理
4．设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ）
A． B． C． D．
解：
5．右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
解：变量的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为“”，
满足“是”则交换两个变量的数值后输出的值结束程序，满足“否”直接输出的值结束程序。
6．已知，则使得都成立的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：，所以解集为，
又，因此选B。
7．（ ） A． B． C． D．
解：，选C。
8．平面向量a，b共线的充要条件是（ ）
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
解：注意零向量和任意向量共线。
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
解：分类计数：甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法，
甲在星期三有种安排方法，总共有种
10．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，面积
11．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图
,故最小值在三点共线时取得，
此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）
12．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的长、宽、高分别为，由题意得
，
，，所以
，
当且仅当时取等号。
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，，且，则 ．
解：由题意
14．设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，
建立方程组，得交点纵坐标，从而
15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
解：令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且
16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ；② ．
解：1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知是一个等差数列，且，．
（Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求前n项和Sn的最大值．
解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．
（Ⅱ）．所以时，取到最大值．
18．（本小题满分12分）
如图，已知点P在正方体的对角线上，．
（Ⅰ）求DP与所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．
解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得与平面所成的角为．
19．（本小题满分12分）
两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
| X1 | 5％ | 10％ |
| P | 0.8 | 0.2 |
| X2 | 2％ | 8％ | 12％ |
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
（Ⅱ）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．（注：）
解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为
| Y1 | 5 | 10 |
| P | 0.8 | 0.2 |
| Y2 | 2 | 8 | 12 |
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
，
，
．
（Ⅱ）
，
当时，为最小值．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）由：知．
设，在上，因为，所以，得，．
在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，
故的斜率．设的方程为．
由 消去并化简得 ．
设，，，．
因为，所以．
．
所以．此时，
故所求直线的方程为，或．
21．（本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解：（Ⅰ），
于是解得或
因，故．
（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点．过点的切线交直线于．证明：．
解：（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
．
（Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．
同（Ⅰ），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解：（Ⅰ）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）；：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；
（Ⅱ）解不等式．
解：（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式，即，
由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为．下载本文
