函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

(时间：80分钟　满分：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．函数y＝sin的周期是(　　)．

A．2π            B．π             C.              D．

解析　T＝＝.

答案　C

2．函数y＝cos(x∈R)是(　　)．

A．奇函数    B．偶函数    C．非奇非偶函数      D．无法确定

解析　∵y＝cos＝－sin x，∴此函数为奇函数．

答案　A

3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)．

A．2         B．             C．4            D．

解析　由已知y＝cos x的图象经变换后得到y＝cos x的图象，所以ω＝.

答案　B

4．函数y＝－xsin x的部分图象是(　　)．

解析　考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y＝－xsin x是偶函数，当x∈时，y<0.

答案　C

5．在下列区间上函数y＝sin为增函数的是(　　)．

A.     B．     C．[－π，0]     D．

解析　由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，故选B.

答案　B

6．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)．

A．T＝6，φ＝    B．T＝6，φ＝  C．T＝6π，φ＝   D．T＝6π，φ＝

解析　将(0,1)点代入f(x)可得sin φ＝.

∵|φ|<，∴φ＝，T＝＝6.

答案　A

7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)．

A．A＝4        B．ω＝1          C．φ＝       D．B＝4

解析　由图象可知，A＝2，T＝－＝，T＝π，

ω＝2.∵2×＋φ＝，∴φ＝，故选C.

答案　C

8．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f等于(　　)．

A．3或0       B．－3或0     C．0      D．－3或3

解析　∵f＝f，

∴f(x)关于直线x＝对称，

∴f应取得最大值或最小值．

答案　D

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

解析　∵y＝cos x在[－π，0]上为增函数，

又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴a≤0.

又∵a>－π，∴－π答案　(－π，0]

10．函数y＝tan x，x∈的值域是________．

解析　∵y＝tan x在上单调递增，

∴0≤tan x≤1，即y∈[0,1]．

答案　[0,1]

11．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝时，有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.

解析　由题意知T＝2×＝π.∴ω＝＝2.

答案　2

12．函数y＝6sin的初相是________，图象最高点的坐标是________．

解析　初相为－，当x－＝＋2kπ，即x＝＋8kπ(k∈Z )时，函数取得最大值6.

答案　－　(k∈Z)

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．用“五点法”作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．

解　(1)列表：

将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展，得y＝2sin＋3的图象．

由图象知，周期T＝2π，频率f＝＝，

相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，

函数的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z.

14．求函数y＝－2tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．

解　由3x＋≠＋kπ，得x≠＋(k∈Z)，∴函数y＝－2tan的定义域为.它的值域为R，周期为T＝，它既不是奇函数，也不是偶函数．由－＋kπ<3x＋<＋kπ(k∈Z)，得－＋15．设函数f(x)＝sin，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

解　(1)∵x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，

∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ±，k∈Z，

∵0<φ<，∴φ＝.

(2)由(1)知φ＝，因此y＝sin.

由题意得：2kπ－≤x＋π≤2kπ＋，k∈Z，

即4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z，

∴函数的单调增区间为，k∈Z.

16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．

解　(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.

把(0,1)代入解析式y＝2sin，得2sin φ＝1.

又|φ|<，解得φ＝.

∴y＝2sin.

(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移得g(x)＝2sin＝2sin.

列表：