一、选择题：（5分×12=60分）
1．若A={x| |x|=1}，B={x|x2－5x－6=0}，则A∩B=（ ）
A．{6} B．{1} C． D．{－1}
选D
【解析】A={－1，1}，B={－1，6}，A∩B={－1}．选D
2．函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=的定义域为N，则M与N的关系是（ ）
A．M=N B．MN C．M∩（CRN）= D． M∩（CRN）={3}
选D
【解析】M={x|x≤－1或x≥3}，N={x| x≤－1或x＞3}，∴M∩（CRN）={3}
3．如图所示，图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．y=|x＋1|（－2≤x≤0）
B．y=|x－1|（－2≤x≤0）
C．y=|x|＋1（－2≤x≤0）
D．y=|x|－1（－2≤x≤0）
选A
【解析】将函数y=|x|的图象向左平移1个单位即可得到函数y=|x＋1|（－2≤x≤0）
4．函数f（x）=则f（－3）的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．
选C
【解析】f（－3）= f（0）=f（3）=2－3=
5．,log35, log23的大小关系是（ ）
A．＜log35＜ log23 B．log35＜＜log23
C．log35＜log23＜ D．＜ log23＜log35
选B
【解析】－log35=log33－log35=log3＞0
∴＞log35
又－ log23=log22－log23=log2＜0
∴＜ log23，选B
6．函数f（x）=4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数,则f（1）的取值范围是（ ）
A． f（1）≥25 B．f（1）=25 C．f（1）≤25 D．f（1）＞25
选A
【解析】∵二次函数f（x）=4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数,对称轴x=，
∴≤－2即m≤－16， ∴f（1）=4－m＋5=－m＋9≥25，选A
7．函数f（x）=lnx－的零点位于下面（ ）区间内
A．（2.5，3） B．（2，2.5） C，（3，4） D．（4，5）
选A
【解析】f（2.5）=ln2.5－＜0（注意到 ln2.5＜1，＞1 ）
f（3）= ln3－＞0（注意到 ln3＞1 ）
∴f（2.5）·f（3）＜0 ∴零点位于区间（2.5,3）内
8．若函数f（x）满足f（x＋y）=f（x）＋f（y），（x,y∈R）则下列等式不恒成立的是（ ）
A．f（0）=0 B．f（3）=3f（1） C．f（）=f（1） D．f（－x）·f（x）＜0
选D
【解析】令y=0,有f（x）= f（x）＋f（0），∴f（0）=0，故A正确
令x=y=1.有f（2）=2f（1）；再令x=2,y=1,有f（3）= f（2）＋f（1）=3f（1）,
故B正确
令x=y=,有f（1）=f（）＋f（）=2 f（）,
∴f（）=f（1）故C正确
令y=－x，则f（0）= f（x）＋f（－x），由于f（0）=0，∴f（－x）=－f（x于是当x=y=0时, f（－x）·f（x）=0,故f（－x）·f（x）＜0不恒成立,故D.
9．已知f（x）满足f（x）＋2f（）=3x, 则f（2）的 值为（ ）
A．－1 B．－2 C． D．
选A
【解析】将原式中的x用替换得: f（）＋2f（x）=,与原式联立并解得
f（x）=－x,故f（2）=－1
10．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
选D
【解析】①当x0≤0时,当 f（x0）＞1则 log2|x0－1|＞1 ∴x0＜－1
②当x0＞0时．f（x0）＞1则2－1＞1则x0＜－1∴x0∈
综上选D
11．己知定义在R上的偶函数f（x）在[0,＋∞）上是增函数,且f（1）=0,则满足
f（x）＞0的x的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞） B．（0．）∪（2，＋∞）
C．（0，） D．（0，）∪（，2）
选B
【解析】由题x＞1或x＜－1,解之得0＜x＜或x＞2,选B
12．任取x1、x2∈[a，b]且x1≠x2,若f＞[f（x1）＋f（x2）],称f（x）为在[a,b]上的凸函数,则所示图象中,是凸函数图象的是（ ）
选D
二、选择题（4分×4=16分）
13．若指数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）= ；
g（x）= ．
【答案】2、x2．
【解析】设f（x）=a（a＞0且a≠1），g（x）=x.由题
∴于是f（x）=2，g（x）=x2.
14．如果函数f（x）=（x＋a）对任意t，都有f（1＋t）=－f（1－t）.则f（2）= .
【答案】1
【解析】取t=0，则f（1）=－f（1）∴f（1）=0，∴f（1）=（1＋a）=0，∴a=－1
于是f（x）=（x－1），f（2）=1
15．方程2lnx=－x＋2的实数根有 个．
【答案】1
【解析】令f（x）=2lnx＋x－2．∵2、lnx、x－2均为单增函数，
∴f（x）是单增函数①
有f（1）=－1＜0，f（2）=22ln2＞0，∴f（1）·f（2）＜0，
∴f（x）在（1，2）内必有零点②
综合①②，函数f（x）有唯一零点，原方程有唯一实数根．
16．已知y=loga（2－ax）在区间[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 ．
【答案】（1，2）．
【解析】由题a＞0且{x|0≤x≤1}{x|2－ax＞0}，∴{x|0≤x≤1}{x|}，
∴1＜，∴a＜2①
若0＜a＜1，则2－ax在R上单减，y=loga（2－ax）在区间[0，1]内单增，
与题意不符，
∴a＞1②
综合①②知：1＜a＜2．
三、解答题：
17．（本题满分12分）
集合A=｛x|x－ax＋a－19=0｝,B=｛x|log2（x－5x＋8）=1｝,C=｛x|x＋2x－8=0｝,
a为何值时,A∩B≠和A∩C=同时成立．
【解析】由log2（x－5x＋8）=1,得x－5x＋8=2,即x－5x＋6=0,解得x=2或x=3
∴B=｛2,3｝
由方程x＋2x－8=0,解得x=－4或x=2 ∴C=｛－4, 2｝…………………4分
又∵A∩B≠, A∩C=，∴ 3∈A, 2A
将x=3代入方程x－ax＋a－9=0,得a－3a=0解得a=0或a=3,…………8分
当a=0时A=｛x|x－ax＋a－9=0｝={3,－3}满足己知条件．
当a=3时A=｛x|x－3x=0｝=｛3,0｝满足己知条件．
∴ a=0或a=3……………………………………………………………12分
18．（本题满分12分）
分别求使方程x－mx－m＋3=0的两根满足下列条件的m值的集合．
（1）根小于0，另一根大于2；
（2）一根在0与1之间，一根在1与2之间；
（3）两根都在－4与0之间；
（4）两根都大于－5
【解析】设二次函数y= x－mx－m＋3
（1）若1根小于0，另1根大于2．
由图像（如图）知：x=0时y＜0；x=2时y＜0．
即，得,∴m＞3……3分
（2）1根在0与1之间，另1根在1与2之间
由图像（如图）知x=0时y＞0，x=1时y＜0，x=2时y＞0．
即得∴2＜m＜…6分 （3）2根都在－4与0之间，由图象（如图）知x=－4时，y＞0；x=0时y＞0；
即得
∴－6≤m＜0…………………9分
（4）2根都大于－5由图象（如图）知x=－5时，y＞0且＞－5且△≥0
即得
∴－6≤m≤2
注：上述m的条件是使根位于相应区间的“充要条件”………………12分
19．（本题满分12分）
设f（x）=x2－4x－4，x∈[t,t＋1]（t∈R）,求函数f（x）的最小值g（t）的解析式．
【解析】∵f（x）=（x－2）2－8, x∈[t,t＋1]……………………………………2分
∴当2∈[t,t＋1]时,即t≤2≤t＋1时,g（t）=f（2）=－8.…………………4分
当t＋1＜2，即t＜1时,f（x）在[t,t＋1]上是减函数,
∴g（t）= f（t＋1）=t2－2t－7………………………………………………7分
当t＞2时，f（x）在[t,t＋1]上是增函数
∴g（t）= f（t）=t2－4t－4…………………………………………………10分
综上可知, g（t）=…………………………12分
20．（本题满分12分）
判断下列函数的奇偶性：f（x）=lg（x＋）
【解析】f（－x）=lg（－x＋）=lg=lg
=－lg（x＋）=－f（x）
∴f（x）是奇函数……………………………………………12分
另解：f（－x）＋f（x）= lg（－x＋）＋lg（x＋）=lg1=0
∴f（－x）=－f（x）， ∴f（x）为奇函数
21（本题满分12分）
设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1，x2恒有f（x1x2）=f（x1）＋f（x2）.
（1）求证：f（1）=f（－1）=0；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）己知y=f（x）为（0,＋∞）上的增函数,求适合f（x）＋f（x－）≤0的x的取值范围.
【解析】
证明：（1）∵f（x1x2）=f（x1）＋f（x2）（x1x2≠0），
∴f（1）= f（1）＋f（1）=2 f（1）， ∴f（1）=0
∴f（1）= f（－1）＋f（－1）=2 f（－1）
∴2 f（－1）=0即f（－1）=0…………………………………………4分
（2）证明 对任意的x≠0都有f（－x）=f（－1）＋f（x）= f（x），
∴f（x）为偶函数………………………………………………………6分
（3）∵f（x1x2）=f（x1）＋f（x2） （x1x2≠0），
∴f（x）＋f（x－）=f
∵f（x）＋f（x－）≤0， ∴f≤0，
∵f（x）为偶函数且f（1）=0 , ∴f≤f（1）
∵f（x）在（0,＋∞）上增函数,
∴，∴≤x≤且x≠0，x＝……12分
22.（本题满分14分）
己知f（x）=loga（a－1）（a＞0,a≠1），
（1）求定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）解方程f（2x）=f－1（x）.
【解析】（1）由a－1＞0得a＞1
当a＞1时,x＞0,当0＜a＜1时,x＜0.
∴定义域是a＞1时,x∈（0,＋∞）；0＜a＜1时x∈（－∞,0）………4分
（2）当a＞1时,设0＜x1＜x2，则a＞a即a－1＞a－1.
∵a＞1，∴loga（a－1）＞loga（a－1），即f（x2）＞f（x1）.
∴当a＞1时，f（x）在（0,＋∞）上是增函数.
当0＜a＜1时, 设x1＜x2＜0，
则有a＞a，∴a－1＞a－1，
∵a＜1 ，∴log（a －1）＜log（a－1），即f（x2）＞f（x1）.
∴当0＜a＜1时f（x）在（－∞,0）上也是增函数.…………………8分
（3）设y=f（x）=log（a－1）得ay=a－1，x=log（ay＋1），
∴f－1（x）= log（a＋1）
由f（2x）= f－1（x）得log（a2x－1）= log（a＋1）,
∴a2x－1= a＋1. 即a2x－ax－2= 0
解得a=－1（舍）a=2， ∴x= log2………………………………14分
注：（1）中函数的定义域不能写成x∈R且x≠0，因为定义域与a的取值有关.下载本文
