题
一、单选题
1．集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有 A ．2个 B ．4个
C ．6个
D ．8个
【答案】B
【解析】试题分析：中含有元素的子集有：
，共四个，
故选B.
【考点】集合的子集. 2．复数
（ ）
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．-2i 【答案】A 【解析】利用即可得解.
【详解】
故选A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.
3．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2
C 2
D 2 【答案】D
【解析】设公比为q ，由已知得()2
2841112a q a q a q ⋅=，即2
2q
=，又因为等比数列{}
n a 的公比为正数，所以2q =，故212
22
a a q =
==
，故选D. 4．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不
必要条件
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，由函数
有零点可得，
，而由函数
在
上为减函数可得
，因此是必要不充分条件，故选B ．
【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5．若函数()
f x cosx ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[)1,?-+?
B ．[1,+∞)
C ．()1,?-+?
D ．()1,-+∞
【答案】B
【解析】求得函数的导数()
sin f x x a ¢=+，把函数()f x 为增函数，转化为sin a x
?
恒成立，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，函数()f x cosx ax =-+，则()
sin f x x a ¢=+，
因为函数()f x cosx ax =-+为增函数，所以()
sin 0f x x a ¢=+?恒成立，
即sin a x ?恒成立，又由sin [1,1]x ?，所以1a ≥，
即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了利用函数单调性求解参数问题，其中解答熟记函数的导数与原函数的关系，合理转化是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )
A ．3
B ．5
C 43
D 53
【答案】D
【解析】由三视图可得该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱
锥得到的几何体，结合锥体和柱体的体积公式，即可求解. 【详解】
由三视图可得，该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，如图所示， 所以该几何体的体积为：
111111112231353
22213PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-=
⨯⨯-⨯⨯⨯=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，其中解答中熟记三视图的规则，还原得到几何体的形状是关键，再由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
B ．1128?,,2i s s i i i ≤=-=
C ．1
7?,,+12i s s i i i
≤=-=
D ．1
128?,,22i s s i i i
≤=-=
【答案】B
【解析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】
由题意，执行程序框图，可得：
第1次循环：1
1,42S i =-=； 第2次循环：11
1,824S i =--=；
第3次循环：111
1,16248
S i =--==；
依次类推，第7次循环：1111
1,256241288
S i =----
==L ， 此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i
=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．若2
3
1()n
x x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．5
C ．10
D ．20
【答案】C
【解析】由二项式2
31()n
x x
+
展开式的各项系数之和为32，求得5n =，再结合展开式的通项，即可求解常数项. 【详解】
由题意，二项式2
31()n
x x
+
展开式的各项系数之和为32， 令1x =，可得232n =，解得5n =， 则二项式2
53
1()x x
+
展开式的通项为2551515531()()r r r
r r r T C x C x x --+==，
令3r =，可得常数项为3510C =. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.
9．在平面区域(),02y x
M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪
+≤⎩⎭⎩
内随机取一点P ，则点P 在圆22
2x y +=内
部的概率（ ） A ．
8
π
B ．
4
π C ．
2
π D ．
34
π 【答案】B
【解析】分析：画出不等式组对应的平面区域，其与圆面2
2
2x y +<的公共部分的面积为
1
8
个圆面，故其面积与平面区域的面积之比为所求概率． 详解：不等式对应的平面区域如图所示：
其中满足22
2x y +<的点为阴影部分对应的点，其面积为
4
π
，不等组对应的平面区域的面积为1，故所求概率为
4
π
，故选B ． 点睛：几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．
10．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=I ，
则//l m ；② //αβ，//βγ，m α⊥，
则m γ⊥；③αβ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④l m ⊥，
l α⊥，m β⊥，αβ⊥.其中正确的命题有( )
A ．1 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于①中，由//,//,l l m αβαβ=I ，根据线面平行的性质，可得//l m ，所以是正确的； 对于②中， 由//,//αββγ，可得//αγ，又由m α⊥，所以m γ⊥，所以是正确的； 对于③中，由αβ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，所以不正确；
对于④中，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，利用面面垂直的判定，可得αβ⊥，所以是正确的，
综上可得①②④是正确的. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与性质的应用，其中解答中熟记空间中的线面位置关系的判定与性质，逐项判定是解答的关键.着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
11．设1F ,2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存
在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ）. A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】试题分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得4
3
b a =，故可知双曲线的离心率为，选B.
【考点】双曲线的性质
点评：解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题．
12．已知以4T
=为周期的函数(1,1]
(){
12,(1,3]
x f x x x ∈-=--∈，其中0m >。若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．8)3
B ．
C ．48(,)33
D ．4(3
【答案】B
【解析】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2
2
21(0)y x y m
+=≥，实质上为一个半
椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函
数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆22
2(4)1(0)y x y m -+=≥相交，
而与第三个半椭圆2
2
2(4)1(0)y x y m
-+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =
代入22
2(4)1(0)y x y m
-+=≥得2222
(91)721350,m x m x m +-+=
令29(0)t m t =>，则有2
(1)8150t x tx t +-+=
由22(8)415(1)0,15,915,03
t t t t m m m ∆=-⨯+>>>>>
得由且得
同样由3x y =与第二个椭圆22
2(8)1(0)y x y m
-+=≥由0∆<可计算得m <
综上知m ∈。
二、填空题
13．已知2tan θ=，则 2cos q 的值为__________. 【答案】35
-
【解析】由三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简得221tan 21tan cos q
q q
-=+，代
入即可求解. 【详解】
由题意知：2tan θ=，
又由22222
2
2222
cos sin 1tan 123
2cos sin cos sin 1tan 125
cos q q q q q q q q q ---=-====-+++. 故答案为：3
5
-. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中利用三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简为齐次式求解是解答的关键.着重考查了化简与运算能力，属于基础题.
14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r
，则3r s +的值为
__________. 【答案】
85
【解析】根据4CD DB =u u u r u u u r 得到4455
CD AB AC u u u r u u u r u u u r =-，再由CD r AB sAC =+u u u r u u u r u u u r ，根据平
面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.
【详解】
如图所示，由4CD DB =u u u r u u u r
，可得444555
CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又由CD r AB sAC =+u u u r u u u r u u u r
，所以44,55
r s =
=-，所以44833555r s +=⨯-=，
故答案为：8
5
. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线2
2(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=u u u r u u u r
，
线段AB 的中点到直线2
p
x =的距离为1，则P 的值为__________. 【答案】1或3
【解析】分别过A 、B 作直线2
p
x =
的垂线，设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线
1
()2MN AC BD =+，由线段AB 的中点到2
p x =的距离为1，可得0
12p x -=，进而即可求解. 【详解】
分别过A 、B 作直线2
p
x =
的垂线，垂足为C 、D ， 设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，连接MN ， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，
根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=， 所以梯形ACDB 中，中位线1
()22
MN AC BD =+=， 可得022p x +
=，即022
p x =-， 因为线段AB 的中点到2
p
x =
的距离为1，可得012p x -=， 所以21p -=，解得1p =或3p =. 故答案为：1或3.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用.着重考查了转化与化归思想，函数与方程思想的应用，以及计算能力，属于中档试题. 16．观察下列算式：
311=
3235=+ 337911=++ 3413151719=+++
……
若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =__________. 【答案】45
【解析】由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和，设第n 行的第一个数为n a ，利用累加法，求得2
1n a n n =-+，即可求解等式右边含有“2021”这个数时，实数n 的值. 【详解】
由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和，
设第n 行的第一个数为n a ，则有21312a a -=-=，32734,a a -=-=
1,2(1)n n a a n --=-L ，
以上1n -个式子相加可得21(1)[22(1)]
(1)2
n n n a a n n n n -+--==-=-，
所以2
1n a n n =-+， 可得45461981,2071a a ==，
所以等式右边含有“2021”这个数，则45n =. 故答案为：45. 【点睛】
本题主要考查了归纳推理，以及利用累加法求解数列的通项公式及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
三、解答题
17．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △的面积为
2
，求11b c +的值．
【答案】（1）
3π；（2【解析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。 【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=
。
（2）由ABC n 的面积为
33及A 3π=得133bcsin 23π=，即bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c 33+=， 所以
113
b c b c bc ++==
。 【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。 18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为
[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题．
（Ⅰ）求全班人数及分数在[]
80,100之间的频率；
（Ⅱ）现从分数在[]
80,100之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在[]
90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学望期． 【答案】（Ⅰ）
516（Ⅱ）()6
E x 5
=，分布列见解析 【解析】试题分析:（Ⅰ）先根据频率分布直方图求出区间[
)50,60上的概率，再由茎叶图确定分数在[
)50,60的人数，最后根据频率、频数、总数关系求全部人数.同样先确定分数在[)80,100人数，再根据频率、频数、总数关系求分数在[]
80,100之间的频率；（Ⅱ）先确定随机变量取法可能情况，再分别求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式可求期望.其中概率的求法为：利用组合数，根据古典概型概率计算公式求解. 试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知分数在[)50,60的人数为4人； [
)60,70的人数为8人；
[)70,80的人数为10人.
总人数为
4
320.012510
=⨯
∴分数在[)80,100人数为324
81010---=人∴频率为
1053216
= （Ⅱ）[)80,90的人数为6人；分数在[
)90,100的人数为4人 X 的取值可能为0,1,2,3
()3631020101206C P X C ====, ()21310601
11202C C P X C ====
()12310363212010C C P X C ====, ()3
431041
312030
C P X C ====
∴分布列为
X 0
1
2
3
P 1
6
12 310 130
()6E x 5
=
19．如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 点折到P 点，且PC PB =.
（1）求证: PO ⊥面ABCE ；
（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（230
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面POF ，进而得到BC PO ⊥，进而证得PO ⊥面ABCE ；
（2）分别以OG 、OF 、OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面PAB 的一个法向量为)
2,0,1n =v
，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得 PA PE =，OA OE =，则PO AE ⊥，
取BC 的中点F ，连OF ，F ，可得//OF AB ，所以OF BC ⊥，
因为 PB PC =，BC PF \\^，且PF OF F =I ，所以BC ⊥平面POF ， 又因为PO ⊂平面POF ，所以BC PO ⊥.
又由BC 与AE 为相交直线，所以PO ⊥平面ABCE .
（2）作//OG BC 交AB 于G ，可知OG OF ⊥，分别以,,OG OF OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(1,1,0)A -，(1,3,0)B ，()
1.3,0C -，()
0,0,2P ，
可得(2,4,0)
AC =-u u u r ，(1,1,2)AP =-u u u r ，(0,4,0)AB =u u u r
，
设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =v
，
则2040
n AP x y z n AB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1z =，可得平面PAB 的一个法向量为(
)
2,0,1n =
v ，
又由2222
2230sin cos ,15
(2)4(2)1n AC n AC n AC
θ⋅-⨯=<>===⋅-+⋅+u u u v v u u u v v
u u u v v ， 所以AC 与面PAB 所成角θ的正弦值为
30.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1，且离心率为6
3
.直线l 与x 轴正半轴
和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足
1PM MQ l =u u u u r u u u u r ，2PN NQ l =u u u r u u u r .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若123l l +=-，试证明:直线l 过定点并求此定点.
【答案】（1）2
213
x y +=；
（2）证明见解析，()1,0. 【解析】（1）设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，根据题意列出方程，求得,a b 的
值，即可得到椭圆的方程；
（2）设l 方程为()
x t y m =-，利用向量的坐标运算，求得111m y l =
-，22
1m
y l =-，得到()
12120y y m y y ++=，联立方程组，结合根与系数的关系，代入求得直线l 的方程，即可得出结论. 【详解】
（1）设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
由题意知1b =，且离心率3
c e a ==
，解得23a =， 所以椭圆的方程为2
213
x y +=.
（2）设()0, P m ，()
0, 0Q x ，()11,M x y ，()22,N x y ，
设l 方程为()
x t y m =-，
由1PM MQ l =u u u u r u u u u r
，得()()111011,,x y m x x y l -=--，
所以111y m y l -=-，由题意知10l ¹，所以11
1m
y l =
-， 同理由2PN NQ l =u u u r u u u r ，可得22
1m
y l =
-， 123l l +=-Q ，()12120y y m y y \\++=
联立()
2233x y x t y m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，整理得()
22222
3230t y mt y t m +-+-=，
则(
)(
)
24
2
22
44330m t t t m D=-+->，且有212223mt y y t +=+，2212233
t m y y t -=+，
代入()
12120y y m y y ++=，得222320t m m mt -+=g ，解得()
2
1mt =，
由0mt <，所以1mt =-，可得l 的方程为1x ty =+， 此时直线过定点()1,0，即P 为定点. 【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21．已知函数()21ln 12f x x ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）若函数()()()()10g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）； （2）若()()1212124,32a f x f x x x x x =-++++=，证明：121
2
x x +≥.
【答案】(1)
1
ln 2a a
-；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：
(1)由题意可得：0b =.结合导函数研究函数的单调性可得()max 1
ln 2g x a a
=-. (2)由题意结合(1)的结论有
()()()()2
121212*********ln 222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+=，构
造函数()ln m m m ϕ=-，结合函数的特征即可证得题中的结论. 试题解析：
（1）由()1
f x ax b x
-'=
+，得()11f a b ='-+， l 的方程为()()11112y a b a b x ⎛⎫--
++=-+- ⎪⎝⎭，又l 过点11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴
()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫
--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得0b =.
∵()()()()2
11ln 112
g x f x a x x ax a x =--=-
+-+， ∴()()()2111111(0)
a x x ax a x a g x ax a a x x x
⎛
⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=-+-==>'， 当10,
x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减. 故()
()2
max
111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭.
（2）证明：∵4a =-，
∴()()2
2
121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，
()()2
12121212ln 222x x x x x x x x =++++-+=，
∴()()2
121212122ln x x x x x x x x +++=- 令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，()1
m m m
ϕ'-=，令()0m ϕ'<得01m <<；令()0m ϕ'>得1m >.
∴()m ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
∴()()11m ϕϕ≥=，∴()2
121221x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212
x x +≥
. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y α
α
=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲
线2
22:12
x C y +=.
（1）在以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6
π
θρ=
≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .
【答案】（1）2cos ρθ=，()
222
cos 2sin 2ρθθ+=；（2
5
. 【解析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直
角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程；
（2）分别求得点,A B 对应的的极径215
p r ==，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】
（1）曲线1C ：1cos sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2
211x y -+=， 由cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
曲线222:12
x C y +=的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.
（2）射线(0)6
π
θρ=
≥与曲线1C 的交点A 的极径为126
cos
p
r == 射线(0)6π
θρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足2
2126sin p r 骣琪琪
桫
+=，解得
25
r =
，
所以12AB r r =-. 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；
（2）正数 a b c ，
，满足2a b c M ++=，求证：11
1a b b c
+≥++. 【答案】（1）4M =；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235x x --+≤，所以15m +≤，解这个不等式可求得4M =.（2）由（1）得
214
a b c
++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1. 试题解析：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解，
则满足15m +≤，解得m -≤≤， ∴4M =.
（2）由（1）知正数a b c ，满足24a b c ++=， ∴
()()1111
14a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 124b c a b a b b c ++⎛⎫
=
++ ⎪++⎝⎭
124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号.
