一、知识点：

1. 二次函数的图像和性质

   ＝        ，  ＝           .

3. 二次函数的图像和图像的关系.

4. 二次函数中的符号的确定.

5. 二次函数的解析式：（1）一般式：             ；（2）顶点式：           

6. 顶点式的几种特殊形式.  

⑴          ， ⑵              ， ⑶              ，（4）              . 

7．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线    对称，顶点坐标为（        ，         ）.

⑴ 当时，抛物线开口向      ，有最     （填“高”或“低”）点, 当

       时，有最     （“大”或“小”）值是           ；

⑵ 当时，抛物线开口向      ，有最     （填“高”或“低”）点, 当

       时，有最     （“大”或“小”）值是            ．

二、典型例题：

例1.已知二次函数，

(1) 用配方法把该函数化为(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.

(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.

例2. （2008年大连）如图，直线和抛物线

都经过点A(1，0)，B(3，2)．

⑴ 求m的值和抛物线的解析式；

⑵ 求不等式的解集．(直接写出答案)

练习：

1．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

　A．BCD．

2．（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

其中正确的个数为（　　）

　A．4个    B．    3个    C．    2个    D．    1个

3．(2014年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　    　．

4．（2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

5．（2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　0　．

（第5题）（第6题）

6．（ 2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为　          　．

7．（ 2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

8．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

参

1．C；2．B；3．顶点坐标是（1，2）．4．0＜x＜4．5．0；6．直线x=2；

7．解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

∴抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，

∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，

在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，

∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．

8．解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则

，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；

③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．

所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．

（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤时，如图1所示．

设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．

②当＜m＜3时，如图2所示．

设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK

=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．

综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．下载本文