一．选择题（共9小题）
1．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
3．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．4：5：6
5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
7．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（ ）
A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB
8．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
9．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM=DN，则∠ADC与∠ABC的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．和为150° D．和为165°
二．填空题（共3小题）
（10） （11） （12）
10．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= ．
11．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 ．
12．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于 ．
三．解答题（共8小题）
13．如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
14．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
15．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
17．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
18．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
19．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD：S△ACD= ；
（2）图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）
（3）图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC= ．
20．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
16．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD=AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5，AC=3，S△ABE﹣S△ACE=2，求△BDE的面积．
2018年03月26日郑的初中数学组卷
参与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15，
解得DE=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
2．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
3．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=2，
∴PE=PD=2．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．4：5：6
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=4：5：6，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【分析】首先设点O到BC的距离为x，由O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，可得×4x=2，继而求得答案．
【解答】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，
∴×4x=2，
解得：x=1．
∴点O到BC的距离为1．
故选：A．
【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，得到方程×4x=2是解此题的关键．
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．
7．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（ ）
A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB
【分析】过P点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，由角平分线的性质可得出EP=GP=DP，再根据角平分线的判定定理可得出AP平分∠BAC．
【解答】解：过P点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点P，
∴EP=GP，GP=DP，
∴EP=DP，
∴AP平分∠BAC．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及判定定理，解答此题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，
∴OP=2DM=8，
∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
9．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM=DN，则∠ADC与∠ABC的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．和为150° D．和为165°
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△CND≌△CMB，由全等三角形的性质可知∠ABC=∠CDN，故可得出结论．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，
∴CM=CN，∠CND=∠BMC=90°，
∵BM=DN，
在△CND与△CMB中，
∵，
∴△CND≌△CMB，
∴∠B=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°．
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
二．填空题（共3小题）
10．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= 120° ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．
11．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 10 ．
【分析】先利用角平分线的性质判断出DE=DF，再用△ABD的面积求出AC×DF=10，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴AB=AC，
∵△ABD的面积为15
∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，
∴AC×DF=10
∴S△ACD=AC×DF=10
故答案为：10．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质判断出DE=DF是解本题的关键．
12．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于 8 ．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
13．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
14．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
【分析】证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOF≌Rt△COE，
∴∠FBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．
15．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线性质求出即可；
（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠DC=180°，求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM．
【点评】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．
16．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD=AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5，AC=3，S△ABE﹣S△ACE=2，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN=180°，根据角平分线的定义得到∠BAE=BAM，∠ABE=∠ABN，于是得到结论；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠AEF，BF=BD，等量代换即可得到结论；
（3）延长AE交BD于F，根据等腰三角形的性质得到AB=BF=5，AE=EF，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，根据S△ABE﹣S△ACE=2，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN=180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE=BAM，∠ABE=∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAM+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△ACE与△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE，
∴∠AEC=∠AEF，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
在△BFE与△BDE中，
，
∴△BFE≌△BDE，
∴BF=BD，
∵AB=AF+BF，
∴AC+BD=AB；
（3）延长AE交BD于F，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥CD，
BE平分∠ABN，
∴AB=BF=5，AE=EF，
∵AM∥BN，
∴∠C=∠EDF，
在△ACE与△FDE中，
，
∴△ACE≌△FDE，
∴DF=AC=3，
∵BF=5，
∴设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，
∵S△ABE﹣S△ACE=2，
∴5x﹣3x=2，
∴x=1，
∴△BDE的面积=8．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
【分析】过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN、PQ=PN，从而得到PM=PQ．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，垂足分别为M、N、Q，
∵∠ABC、∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P．
∴PM=PN，PQ=PN，
∴PM=PQ，
∴P在∠A的平分线上．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
18．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”可知AD为∠A的平分线，又DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可证DE=DF．
【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF．
理由：∵AD为等腰三角形底边上的中线，
∴AD平分∠BAC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质．关键是运用等腰三角形的“三线合一”解题．
19．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD= 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC= 9 ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；
（3）
∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
20．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；
（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；
（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
