1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

A． ． ． ．

2．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（    ）

A． ． ． ．

3．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（    ）

A． ． ． ．

4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）

A． ． ． ．

5．函数的图象是（  ）

A． ．

C． ．

6．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（    ）

A．1-i ．-1-i ．1+i ．-1+i

7．若是一组基底,向量=x+y (x,y∈R),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量在基底=(1,-1), =(2,1)下的坐标为(-2,2),则在另一组基底=(-1,1), =(1,2)下的坐标为(　　)

A．(2,0) ．(0,-2) ．(-2,0) ．(0,2)

8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（  ）

A．假设至少有一个钝角 ．假设至少有两个钝角

C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

9．当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（    ）

A． ．

C． ．

10．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． ．

C．2 ．

11．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则

A． ． ． ．

12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．72 ． ．48 ．32

13．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A．3 ．2 ． ．

14．已知为等边三角形，，设，满足，，若，则（    ）

A． ． ． ．

15．已知复数z满足，则复数的虚部为（    ）

A． ． ． ．

二、填空题

16．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.

17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为________.

18．已知实数，满足，则的最小值是__________．

19．已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

20．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．

21．若，则_____________．

22．已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为________.

23．已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.

24．在区间上随机取一个数x，的值介于的概率为          ．

25．设 为第四象限角，且＝，则 ________.

三、解答题

26．已知函数.

（1）若函数，求的极值；

（2）证明：. 

（参考数据：      ）

27．选修4-5：不等式选讲：设函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

28．已知数列与满足：，且为正项等比数列，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）若数列满足，为数列的前项和，证明：.

29．如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，，Q是的中点，

（I）求证：平面

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

30．已知.

(1)求证： ；

(2)若，且，求证：．

【参】

2016-2017年度第*次考试试卷  参

**科目模拟测试

一、选择题

1．C

2．B

3．C

4．C

5．A

6．B

7．D

8．B

9．D

10．A

11．C

12．B

13．B

14．A

15．B

二、填空题

16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主

17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为

18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线

19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考

20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小

21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基

22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径

23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图

24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率

25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同

三、解答题

26．

27．

28．

29．

30．

2016-2017年度第*次考试试卷  参考解析

【参考解析】

**科目模拟测试

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．

【详解】

解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．

故选C．

【点睛】

本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．

2．B

解析：B

【解析】

【分析】

计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.

【详解】

由题意可知，样本在的数据个数为，

样本在的数据个数为，

因此，样本在、内的数据个数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.

【详解】

甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.

【点睛】

本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.

4．C

解析：C

【解析】

试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；

考点：古典概型的计算.

5．A

解析：A

【解析】

【分析】

通过，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．

【详解】

，可得f(0)=1,排除选项C,D;

由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，

故选A

【点睛】

图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.

【详解】

∵复数满足，∴，

∴复数的共轭复数等于，故选B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

由已知=-2+2=(-2,2)+(4,2)=(2,4),

设=λ+μ=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由解得

∴=0+2,∴在基底, 下的坐标为(0,2).

8．B

解析：B

【解析】

用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选．

9．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.

【详解】

由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．

【详解】

设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

11．C

解析：C

【解析】

试题分析：先求得M（2,，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选C．

考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．

点评：简单题，应用公式计算．

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为，故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

13．B

解析：B

【解析】

【分析】

【详解】

是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分

椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍

双曲线与椭圆有公共焦点，

的离心率的比值是

故答案选

14．A

解析：A

【解析】

【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量，，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.

【详解】

∵，，

∴

，∴.

故选：A.

15．B

解析：B

【解析】

设 ，由 ，   ，故选B.

二、填空题

16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主

解析：

【解析】

【分析】

由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.

【详解】

因为，又，

所以，又为锐角，可得.

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

即，

即当时，面积的最大值为. 故答案为.

【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为

解析：

【解析】

【分析】

设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得 ，即得此圆锥高的值．

【详解】

设此圆的底面半径为，高为，母线为，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形,

所以，得 ,解之得，

因此,此圆锥的高，

故答案为:．

【点睛】

本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．

18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线

解析：6

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，由可得，平移直线，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由可得．

平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．

由题意得A点坐标为，

∴，

即的最小值是6．

故答案为6．

【点睛】

求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考

解析：

【解析】

【分析】

利用通项公式即可得出．

【详解】

解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．

∵含有x2的系数是54，∴r＝2．

∴54，可得6，∴6，n∈N*．

解得n＝4．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小

解析：8

【解析】

分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出

点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.

21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基

解析：

【解析】

【分析】

根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．

【详解】

，

，，

，

则

故答案为

【点睛】

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．

22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径

解析：或

【解析】

【分析】

做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.

【详解】

正三棱锥的外接球的表面积为，根据公式得到

根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则，底面三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得到，故得到外接圆半径为

在三角形中根据勾股定理得到 

三棱锥的体积为： 

代入数据得到或者 

故答案为：或

【点睛】

这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图

解析：

【解析】

【分析】

先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.

【详解】

由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，

因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，

令为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos, 

∴sin，∴，∴，又OF=,

可得，

计算得， ，

所以.

故答案为

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.

24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率

解析：

【解析】

试题分析：由题意得，因此所求概率为

考点：几何概型概率

25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同

解析：－

【解析】

因为＝

＝

＝

＝

＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos  2α＋1

＝，所以cos 2α＝.

又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan2α＝－.

点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

三、解答题

26．

（1）见解析；（2）见证明

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．

【详解】

（1），，当，，

当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.

（2）要证f（x）+1＜ex﹣x2．

即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，

先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，

易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，

故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1，

故只需证明当x＞0时，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，

令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，

令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝2ln2，

∵F′（x）递增，故x∈（0，2ln2]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，

x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，

且k′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k′（0）＝2＞0，k′（2）＝e2﹣8+1＞0，

由零点存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）＝k′（x2）＝0，

故0＜x＜x1或x＞x2时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x2时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，

k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，

故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．

27．

（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

（2）问题等价于关于的不等式有解，，求出a的范围即可．

【详解】

解：（1）可转化为

或或， 

解得或或无解. 

所以不等式的解集为. 

（2）依题意，问题等价于关于的不等式有解，

即， 

又，当时取等号.  

所以，解得，所以实数a的取值范围是.

【点睛】

含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。

28．

（1），；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①，n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②，①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），{an}公比为q，求出an，然后求解bn；（2）化简（n∈N*），利用裂项消项法求解数列的和即可．

【详解】

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①

n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②

①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），

∴a3＝2（b3﹣b2）＝8

∵a1＝2，an＞0，设{an}公比为q，

∴a1q2＝8，∴q＝2

∴an＝2×2n﹣1＝2n

∴，

∴bn＝2n﹣1．

（2）证明：由已知：．

∴

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.

29．

（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）连接，交于点，连接，则四边形是正方形，点是的中点，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．

（2）以为原点，，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

【详解】

证明：（1）如图所示，连接，交于点，连接．

因为四边形是正方形，所以点是的中点，

又已知点是的中点，所以，且，

又因为，且，所以，且，

所以四边形是平行四边形，故，

因平面，平面，

故平面．

（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

不妨设，

则，，，，

所以，．

设平面的法向量为，

则 即，取，则

平面的一个法向量，所以．

故二面角的平面角的余弦值为．

【点睛】

线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

30．

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1) 已知直接对使用均值不等式；

(2)不等式分母为，通过降次构造，再使用均值不等式．

【详解】

证明：(1)；

(2)，当且仅当或时取“=”.

【点睛】

“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．下载本文