21.1　一元二次方程

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元二次方程及相关概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式．

3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

【过程与方法】

 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．

【情感态度与价值观】

通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

1．一元二次方程的概念及其一般形式．

2．判断一个数是不是一元二次方程的解．

【教学难点】

能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解决下列问题：

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.

列方程，得__(100－2x)(50－2x)＝3600__，

化简，整理，得__x2－75x＋350＝0__.①

 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__x(x－1)__场．

列方程，得__x(x－1)＝28__.

化简、整理，得 __x2－x－56＝0__.②

归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.

2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．

3．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x3－2x2＋5＝0；

(2)x2＝1；

(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；

(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；

(5)x2－2x＝x2＋1；

(6)ax2＋bx＋c＝0.

【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？

【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.

【例2】将方程2x＋2＝5(x－1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？

【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.

其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.

【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．

【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？

－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.

【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？

【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．下列方程是一元二次方程的是(　D　)

A．ax2＋bx＋c＝0    B．3x2－2x＝3(x2－2)

C．x3－2x－4＝0    D．(x－1)2＋1＝0

2．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(　A　)

A．2　    B．0

C．0或2　    D．0或－2

【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．

3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是 __－1__.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？

【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.

∵(m－4)2≥0，

∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m2－8m＋17≠0.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．一元二次方程 

2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．

请完成本课时对应练习！

21.2　解一元二次方程 

21.2.1　配方法(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．

【过程与方法】

1．通过根据平方根的意形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．

 【情感态度与价值观】

通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．

【教学难点】

把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，对于方程x2＝p：

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝____，x2＝__－__.

(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；

(3)当p＜0时，方程__无实数根__.

2．用直接开平方法解下列方程：

(1)(3x＋1)2＝9; x1＝，x2＝－.

(2)y2＋2y＋1＝25. y1＝4，y2＝－6.

3．(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；

(2)x2－x＋____＝(x－____)2；

(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋ __1__)2.

4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p的形式，那么就有：

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__－n－__，x2＝__－n＋__；

(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__－n__；

(3)当p＜0时，方程__无实数根__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】用配方法解下列关于x的方程：

(1)2x2－4x－8＝0；　(2)2x2＋3x－2＝0.

【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？

【解答】(1)移项，得2x2－4x＝8.

二次项系数化为1，得x2－2x＝4.

配方，得x2－2x＋12＝4＋12，即(x－1)2＝5.

由此可得x－1＝±，

∴x1＝1＋，x2＝1－.

(2)移项，得2x2＋3x＝2.

二次项系数化为1，得x2＋x＝1.

配方，得2＝.

由此可得x＋＝±，∴x1＝，x2＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p、q的值分别是(　B　)

A．p＝4，q＝2　    B．p＝4，q＝－2

C．p＝－4，q＝2　    D．p＝－4，q＝－2

2．用直接开平方法或配方法解下列方程：

(1)3(x－1)2－6＝0 ；　(2)x2－4x＋4＝5；

(3)9x2＋6x＋1＝4；　　　(4)36x2－1＝0；

(5)4x2＝81；　　　(6)x2＋2x＋1＝4.

(1)x1＝1＋，x2＝1－.

(2)x1＝2＋，x2＝2－.

(3)x1＝－1，x2＝.

(4)x1＝，x2＝－.

(5)x1＝，x2＝－.

(6)x1＝1，x2＝－3.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值．

【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？

【解答】由已知方程，得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，

即(x－2)2＋(y＋3)2＋＝0，

∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0.

环节3　课堂小结，当堂达标 

(学生总结，老师点评) 

 用配方法解一元二次方程的一般步骤：

→→→

请完成本课时对应练习！

21.2.2　公式法(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．

2．会熟练运用公式法解一元二次方程．

【过程与方法】

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．

【情感态度与价值观】

在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性．

二、重难点目标

【教学重点】

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．用配方法解下列方程：

(1)x2－5x＝0；　x1＝0，x2＝5.

(2)2x2－4x－1＝0. 　x1＝1＋，x2＝1－.

2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？　x1＝，x2＝.

【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定．

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0.当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝就得到方程的根．

(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根．

(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b2－4ac__.当Δ__>__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．

4．不解方程，判断方程根的情况．

(1)16x2＋8x＝－3；　(2)9x2＋6x＋1＝0；

(3)2x2－9x＋8＝0；　(4)x2－7x－18＝0.

解：(1)没有实数根．　(2)有两个相等的实数根．

(3)有两个不相等的实数根．

(4)有两个不相等的实数根．

【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】用公式法解下列方程：

(1)2x2＋1＝3x；　(2)2x(x－1)－7x＝2.

【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？

【解答】(1)原方程整理，得2x2－3x＋1＝0.

其中a＝2，b＝－3，c＝1，

则Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1>0.

∴x＝＝，

即x1＝，x2＝1.

(2)原方程整理，得2x2－9x－2＝0.

其中a＝2，b＝－9，c＝－2，

则Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0.

∴x＝＝，

即x1＝，x2＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；(2)求出Δ＝b2－4ac的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－；当Δ<0时，方程没有实数根．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　B　)

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根

D．没有实数根

2．如果方程5x2－4x＝m没有实数根，那么m的取值范围是__m＜－__.

3．用公式法解下列方程：

(1)2x2－6x－1＝0；　(2)2x2－2x＋1＝0；

(3)5x＋2＝3x2.

解：(1)x1＝，x2＝.

(2)方程没有实数根．

(3)x1＝2，x2＝－.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知a、b、c分别是三角形的三边，试判断方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况．

【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？

【解答】∵a、b、c分别是三角形的三边，∴a＋b＞0，c＋a＋b＞0，c－a－b＜0，∴Δ＝(2c)2－4(a＋b)·(a＋b)＝4(c＋a＋b)(c－a－b)<0，故原方程没有实数根．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b2－4ac判断方程的根的情况．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．一元二次方程根的情况 

2．当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根为x＝.

请完成本课时对应练习！

21.2.3　因式分解法(第3课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握用因式分解法解一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

【过程与方法】

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．

【情感态度与价值观】

了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．

二、重难点目标

【教学重点】

运用因式分解法解一元二次方程．

【教学难点】

选择适当的方法解一元二次方程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．将下列各题因式分解：

am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；

a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；

a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；

x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；

3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.

2．按要求解下列方程：

(1)2x2＋x＝0(用配方法)；

(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．

 解：(1)x1＝0，x2＝－.　(2)x1＝2，x2＝－4.

3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.

4．如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或 __x－1＝0__，即x＝－1或__x＝1__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x－10＝0；

(2)5x2－2x－＝x2－2x＋；

(3)3x(2x＋1)＝4x＋2；

(4)(x－4)2＝(5－2x)2.

【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解答】(1)因式分解，得(x＋2)(x－5)＝0.

∴x＋2＝0或x－5＝0，

∴x1＝－2，x2＝5.

(2)移项、合并同类项，得4x2－1＝0.

因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.

∴2x＋1＝0或2x－1＝0，

∴x1＝－，x2＝.

(3)原方程可变形为3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0.

因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.

∴2x＋1＝0或3x－2＝0，

∴x1＝－，x2＝.

(4)移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.

因式分解，得(1－x)(3x－9)＝0，

∴1－x＝0或3x－9＝0，

∴x1＝1，x2＝3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．解方程：

(1)x2－3x－10＝0；

(2)3x(x＋2)＝5(x＋2)；

(3)(3x＋1)2－5＝0；

(4)x2－6x＋9＝(2－3x)2.

解：(1)x1＝5，x2＝－2.

(2)x1＝－2，x2＝.

(3)x1＝－，x2＝.

(4)x1＝－，x2＝.

2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，求该三角形的周长．

解：解x2－12x＋35＝0，得x1＝5，x2＝7.

∵3＋4＝7，∴x＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

 【例2】已知9a2－4b2＝0，求代数式－－的值．

【互动探索】(引发学生思考)a、b的值能求出来吗？a、b之间有怎样的关系？怎样将a、b的值与已知代数式联系起来．

【解答】原式＝＝－.

∵9a2－4b2＝0，

∴(3a＋2b)(3a－2b)＝0，

即3a＋2b＝0或3a－2b＝0，

∴a＝－b或a＝b.

当a＝－b时，原式＝－＝3；

当a＝b时，原式＝－3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要求－－的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

请完成本课时对应练习！

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)

一、基本目标

【知识与技能】

掌握一元二次方程的根与系数的关系．

【过程与方法】

利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．

【情感态度与价值观】

通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

理解一元二次方程的根与系数的关系．

【教学难点】

利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解下列方程，并填写表格：

(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.

(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.

2．解下列方程，并填写表格：

(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.

(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与a、b、c的关系：__x1＋x2＝－，x1x2＝__.

3．求下列方程的两根之和与两根之积．

(1)x2－6x－15＝0；

(2)5x－1＝4x2；

(3)x2＝4；

(4)2x2＝3x.

解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.

(2)x1＋x2＝，x1x2＝.

(3)x1＋x2＝0，x1x2＝－4.

(4)x1＋x2＝，x1x2＝0.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】x1、x2是方程2x2－3x－5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

(1)x1＋x2 ；　　　(2)＋；

(3)x＋x；　　　(4)x＋3x－3x2.

【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．

【解答】(1)x1＋x2＝，

(2)∵x1x2＝－，

∴＋＝＝－.

(3)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.

(4)x＋3x－3x2＝(x ＋x) ＋(2x－3x2 )＝12.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积．

(1)x2－5x－3＝0；　(2)9x＋2＝x2；

(3)6x2－3x＋2＝0；　(4)3x2＋x＋1＝0.

解：(1)x1＋x2＝5，x1x2＝－3.

(2)x1＋x2＝9，x1x2＝－2.

(3)方程无解．

(4)方程无解．

2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．

解：另一根为2，m＝2.

【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝1代入方程先求m，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．

3．若一元二次方程x2＋ax＋2＝0的两根满足：x＋x＝12，求a的值．

解：a＝±4.

【教师点拨】由x ＋ x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k的值．

【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？

【解答】∵方程两实根的积为5，

∴  

∴k≥，k＝±4.

故当k＝4时，方程两实根的积为5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1、x2和系数的关系如下：

x1＋x2＝－，x1x2＝.

请完成本课时对应练习！

21.3　实际问题与一元二次方程

一、基本目标

【知识与技能】

1．会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解．

2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．

【过程与方法】

经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．

【情感态度与价值观】

体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识．

二、重难点目标

【教学重点】

列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

【教学难点】

利用一元二次方程解决实际问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1. 有一人患了感毛，经过两轮传染后共有121人患了感冒，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有__1＋x__人患了感冒，第二轮后共有__1＋x＋x(x＋1)__人患了感冒．

可列方程 __1＋x＋x(x＋1)＝121__.

解方程，得x1＝__－12(不合题意，舍去)__,_x2＝__10__.

所以平均一个人传染了__10__个人．

2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．

①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．

依题意，得__5000(1－x)2＝3000__.

解得__x1≈0.23，x2≈1.77__.

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__23%__.

②设乙种药品成本的年平均下降率为y.

依题意，得__6000(1－y)2＝3600__.

解得__y1≈0.23，y2≈1.77(不合题意，舍去)__.

所以两种药品成本的年平均下降率 __相同__.

提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.

(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底，怎样计算梯形面积？(2)渠道的体积怎样计算？

【解答】(1)设渠深为x m，则渠底为(x＋0.4)m，上口宽为(x＋2)m.

依题意，得(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6，

整理，得5x2＋6x－8＝0，

解得x1＝＝0.8，x2＝－2(舍去), 

∴上口宽为2.8 m，渠底为1.2 m.

(2)如果计划每天挖土48 m3，需要＝25(天)才能挖完渠道．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(　C　)

A．2和4　    B．6和8

C．4和6　    D．8和10

2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支， 则1＋x＋x·x＝91.解得x1＝9或x2＝－10(舍去)．故每个支干长出9个小分支．

3．如图，要设计一幅长30 cm、宽20 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？(精确到0.1 cm)

解：横彩条宽为1.8 cm，竖彩条宽为1.2 cm.

【教师点拨】设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝×20×30.解得x1≈0.61或x2≈10.2(舍去)．　　4.用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.

(1)此长方形的宽是多少？

(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由；

解：(1)5 cm.

(2)不能．设宽为x cm，则长为(20－x) cm，由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，由Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

【互动探索】(引发学生思考)AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？

【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m.

根据题意，得x(50－2x)＝300.

解得x1＝10，x2＝15，

当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，

则x1＝10不合题意，舍去．

故可以围成AB长为15 m，BC长为20 m的矩形花园．

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“检验”，即验证是否符合题意；

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．

请完成本课时对应练习！

22.1　二次函数的图象和性质

22.1.1　二次函数(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．

2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．

【过程与方法】

 经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．

【情感态度与价值观】

通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数的概念．

【教学难点】

能根据已知条件写出二次函数的解析式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．正比例的函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为__y＝ax＋b__(a、b为常数，且a≠0)．

2．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a、b、c__.

3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__.

①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.

4．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.

5．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为__y＝πx2＋2πRx(x≥0)__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数， 求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？

【解答】 由题意，得

解得m＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．

【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元，求y与x之间的函数关系式．

【互动探索】(引发学生思考)解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等量关系是什么？

【解答】根据题意，得每个篮球的利润为50＋x－40＝10＋x；篮球的销售量为500－10x.

则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是__S＝－2x2＋10x__.(不写定义域)

2．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

解：根据题意，得

解得k＝1.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法——待定系数法，求二次函数的解析式用这种方法同样适用吗？

【解答】设所求的二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.

根据题意，得 

解得a＝2，b＝－3，c＝5.

故所求二次函数为y＝2x2－3x＋5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的解析式与求一次函数的解析式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次函数

请完成本课时对应练习！

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．能够用描点法作出函数y＝ax2的图象．

2．认识和理解y＝ax2的性质．

【过程与方法】

 经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法．

【情感态度与价值观】

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．

二、重难点目标

【教学重点】

1．掌握函数y＝ax2的图象的画法．

2．理解函数y＝ax2的图象与性质．

【教学难点】

用描点的方法准确地画出函数y＝ax2的图象，掌握其性质特征．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P29～P32的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．用描点法画函数图象的一般步骤：__列表__、__描点__、__连线__.

2．抛物线y＝x2中的开口方向是__向上__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.抛物线y＝－x2的开口方向是__向下__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.

3．一般地，当a>0，时，抛物线y＝ax2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__低__点，a越大，抛物线的开口越__小__；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__高__点，a越小，抛物线的开口越__小__.

4．对于二次函数y＝ax2的图象：如果a>0，当x<0，时，y随x的增大而__减小__，当x>0，时，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<0，时，y随x的增大而__增大__，当x>0，时，y随x的增大而__减小__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】下图是甲、乙、丙三人画的二次函数y＝2x2的图象．请你帮助修改．

　　　　　　　　甲　　　　　　　　　乙　　　　　　　　　丙

【互动探索】(引发学生思考)画二次函数y＝ax2的图象应注意些什么问题？

【解答】图甲：有两个错误的地方：①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连结；②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止．

图乙：有一个错误，有一个点(1，－2)的位置画错(或表格中对应值算错)．

图丙：错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性．

二次函数y＝2x2的图象如下所示：

【互动总结】(学生总结，老师点评)画二次函数的图象时应注意的问题：(1)在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形；(2)抛物线是向两个方向无限延伸的，左右两边必须保持关于对称轴对称；(3)用描点法画出的图象只是二次函数的图象的一部分，且是近似的．

【例2】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．

(1)求满足条件的m的值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；此时当x为何值时，y随x的增大而增大？

【互动探索】(引发学生思考)二次函数必须满足什么条件？二次函数 y＝ax2的性质有哪些？这些性质与a有什么关系？

【解答】(1)由题意，得 

解得

 ∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，

∴m＋2>0，即m>－2，

∴只能取m＝2.

∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0,0)，

∴当x>0时，y随x的增大而增大．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2.(2)二次函数y＝ax2的性质：当a＞0时，开口向上，x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；函数的最小值为0；顶点坐标为(0,0)．当a＜0时，开口向下；当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；函数的最大值为0；顶点坐标为(0,0)．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　B　)

　　　　　　 　A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　 　　D

2．函数y＝(－x)2的图象是__抛物线__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__，开口方向是__向上__.

3．已知函数y＝ax2经过点(－1,3)．

(1)求a的值；

(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况是什么？

解：(1)把点(－1,3)代入y＝ax2，得a＝3.

(2)因为3＞0，所以当x<0时，y的值随x值的增大而减少．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1，b)．

(1)求a、b的值；

(2)x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？

【互动探索】(引发学生思考)抛物线与直线的交点有什么性质？二次函数的增减性与什么有关？

【解答】(1)把(1，b)代入y＝x－3可得，b＝1－3＝－2，

∴点的坐标为(1，－2)．

把(1，－2)代入y＝ax2，得－2＝a，即a＝－2.

∴a＝－2，b＝－2.

(2)由(1)可得，y＝－2x2，

∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大．

【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线与直线的交点即为同时满足抛物线方程、直线方程的点，将这个点的坐标代入抛物线方程、直线方程均成立．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第3课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，并通过图象认识其性质．

2．理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出两次函数y＝ax2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【过程与方法】

经历类比y＝ax2的图象与性质学习y＝ax2＋k的图象与性质的过程，理解类比的学习方法的重要性．

【情感态度与价值观】

经历类比学习的过程，获得成功的体验，进一步体会二次函数的数学模型．

二、重难点目标

【教学重点】

1．会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象．

2．理解二次函数y＝ax2＋k的性质．

3．理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的关系．

【教学难点】

1．正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质．

2．理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P32～P33的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(1)把抛物线y＝2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2＋1.

(2)把抛物线y＝2x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2－1.同理，把抛物线y＝－2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝－2x2＋1.

(3)函数y＝－x2＋1，当__x_＞0__时， y随x的增大而减小；当__x＝0__时，函数y有最大值，最大值y是__1__ ，其图象与y轴的交点坐标是__(0,1)__，与x轴的交点坐标是__(1,0)，(－1,0)__.

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

解：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同；顶点坐标不相同，二次函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，二次函数y＝2x2的图象的顶点坐标为(0,0)．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】已知二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，求a的值．

【互动探索】(引发学生思考)二次函数的最高点为(0,2)，那么它的二次项系数、常数分别应该满足什么条件？

【解答】∵二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，

∴解得a＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)若二次函数y＝ax2＋k的图象有最高点，则a＜0；最高点的纵坐标为k，即最高的坐标为(0，k)．

【例2】已知抛物线y＝ax2＋k向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2，试求a、k的值．

【互动探索】(引发学生思考)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式有怎么的关系？抛物线的平移规律是怎样的？

【解答】根据题意，得 解得 

【互动总结】(学生总结，老师点评)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式中的二次项系数相等．抛物线y＝ax2＋k向下平移n个单位(n＞0)得到的抛物线为y＝ax2＋k－n.

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．若二次函数y1＝a1x2－1与二次函数y2＝a2x2＋3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为(　A　)

A．a1＝a2　    B．a1＝－a2

C．a1＝±a2　    D．无法判断

2．将二次函数y＝－2x2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为(　A　)

A．(0，－6)　    B．(0,4)

C．(5，－1)　    D．(－2，－6)

3．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：

(1)通过点(－3,2)；

(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反．

解：(1)∵抛物线y＝ax2－1通过点(－3,2)，∴2＝9a－1，解得a＝.故解析式为y＝x2－1.

(2)由题意易得解析式为y＝－x2－1.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为(　　) 

A．a＋c　    B．a－c

C．－c　    D．c 

【互动探索】(引发学生思考)分析二次函数y＝a x2＋c的图象与性质．

【分析】二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称．∵当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，∴x1＋x2＝0.由于当x＝0时，函数值为c，故选项D正确．

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，那么x1与x2互为相反数．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第4课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a、h对二次函数图象的影响．

2．能够正确说出y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．

【过程与方法】

1．通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y＝a(x－h)2的图象及其性质的认知．

2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．

【情感态度与价值观】

经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

二、重难点目标

【教学重点】

1．理解y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象的关系，掌握a、h对二次函数y＝a(x－h)2图象的影响．

2．能够正确说出y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【教学难点】

能够作出y＝a(x－h)2图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，掌握a、h对二次函数图象的影响．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P33～P35的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．对于函数y＝2(x－1)2 ，当__x＜1__时，函数值y随x的增大而减小；当__x＞1__时，函数值y随x的增大而增大；当x＝__1__时，函数取得最__小__值，此时y＝__0__.

2．抛物线y＝－(x－2)2的开口方向__向下__，对称轴是__x＝2__，顶点坐标是__(2,0)__，可以看成是由抛物线y＝－x2向__右__平移__2__个单位而得到的．

3．抛物线y＝3(x＋2)2的开口方向__向上__，对称轴是__x＝－2__，顶点坐标是__(－2,0)__，可以看成是由抛物线y＝3x2向__左__平移__2__个单位而得到的．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】顶点为(－2,0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为(　　)

A．y＝(x－2)2　　    B．y＝(x＋2)2

C．y＝－(x＋2)2　    D．y＝－(x－2)2

【互动探索】(引发学生思考)抛物线的开口方向、形状是由什么决定的？

【分析】因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.因为抛物线的顶点为(－2,0)，所以h＝2.所以y＝－(x＋2)2.故选C.

【答案】C

【互动总结】(学生总结，老师点评)决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．

【例2】向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝－x2的图象向左向右平移后得到的抛物线的解析式是什么？

【解答】能．理由如下：

设平移后的函数为y＝－(x＋h)2.

将x＝－9，y＝－8代入，得－8＝－(－9＋h)2，

所以h＝5或h＝13，

所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.

即抛物线的顶点为(－5,0)或(－13,0)，

所以应向左平移5或13个单位．

【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象向左(或右)平移h(h>0)个单位长度得到的图象的解析式为y＝a(x＋h)2或y＝a(x－h)2.

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　D　)

A．y随x的增大而增大

B．当x＞0时，y随x的增大而增大

C．当x＝－1时，y有最小值0

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

2．已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2,0)，且图象经过点(－4,2)，求a、h的值．

解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2,0)，∴h＝2.

又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4,2)，

∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝.

3．抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1,4)，求a的值和平移后的函数关系式．

解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2.把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a＝，∴平移后的二次函数关系式为y＝(x－3)2.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．

【互动探索】(引发学生思考)怎样求A、B、C三个点的坐标呢？

【解答】由题意，得平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4,0)．

解方程组得或

∵点A在点B的左边，∴A(2,2)、B(8,8)(如图)，

∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．这个解就是两个函数图象的交点坐标．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第5课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．

2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律．

3．能运用二次函数的知识解决简单的实际问题．

【过程与方法】

通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题．

【情感态度与价值观】

进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质．

【教学难点】

1．二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系．

2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是__(－2，－4)__，当x__＜－2__时，函数值y随x的增大而增大．

2．若抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点是__(－3,0)__.

3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当 __a>0__时，开口向上；当__a<0__时，开口向下；对称轴是直线__x＝h__；顶点坐标是__(h，k)__.

4．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝ax2的__形状__相同(因为a值相同)，而__位置__不同．将抛物线y＝ax2__上下__平移，可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移－k个单位)，再将抛物线y＝ax2＋k__左右__平移后，可得到抛物线y＝a(x－h)2＋k(h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移)．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是(　　)

A．图象开口向上 

B．图象的对称轴是直线x＝1

C．图象有最低点 

D．图象的顶点坐标为(－1,2)

【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴、最高(低)点、顶点坐标分别由什么决定？

【分析】∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，故A、C错误．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1,2)，∴对称轴是直线x＝－1，故B错误，D正确．

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、最高(低)点由a决定；对称轴由h决定；顶点坐标由h、k共同决定．

【例2】已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)写出它的开口方向、对称轴．

【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的顶点坐标，怎样求二次函数的解析式呢？

【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，

∴可设此函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2.

把点(1，－3)代入解析式，得 a＝－.

故抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.

(2)由(1)的函数解析式可得此抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)已知二次函数的顶点，可以将二次函数的解析式设为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，再根据题目中的条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式．

 【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为(　A　)

①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．

A．4　    B．3　

C．2　    D．1

2．已知某二次函数y＝a(x－1)2－c的图象的如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　A　)

3．已某知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是 __y＝－(x＋4)2＋3__.

4．已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.

(1)试确定a、h、k的值；

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．

解得

(2)由(1)，得y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1.故它的图象的开口方向向下；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为(1，－1)．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为 2 m，隧道最高点P位于AB的且距地面6 m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；

(2)一辆货车高4 m，宽4 m，能否从该隧道内通过，为什么？

【互动探索】(引发学生思考)我们以前学会了构建一次函数模型解决实际问题，那么该怎样构建二次函数模型解决实际问题呢？

【解答】(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.

∵顶点为(4,6)，

∴y＝a(x－4)2＋6.

∵它过点(0,2)，

∴a(0－4)2＋6＝2，解得a＝－，

∴此抛物线的解析式为y＝－(x－4)2＋6.

(2)当x＝2时，y＝5＞4，

∴该货车能通过隧道．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用函数知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

22.1.4　 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第6课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式．

2．能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．

3．掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．

【过程与方法】

经历由y＝a(x－h)2＋k的图象与性质求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．

【情感态度与价值观】

通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．

【教学难点】

用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是__x＝h__，当a__>0__时，开口向上，此时二次函数有最 __小__ 值，当x__＞h__ 时，y随x的增大而增大，当x__2＋__.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线__x＝－__，顶点坐标是____.

3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：如果a>0，当x<－，y随x的增大而__减小__，当x>－，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<－，y随x的增大而__增大__，当x>－，y随x的增大而__减小__.

4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－(x－2)2＋9__，对称轴是直线__x＝2__，顶点是__(2,9)__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】求二次函数y＝2x2－x－1的开口方向、对称轴及顶点坐标．

【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与性质是什么？

2－，

∴二次函数y＝2x2－x－1的开口向上，对称轴是直线x＝，顶点坐标为.

2＋，其对称轴是x＝－，顶点是.

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向__向下__，对称轴是直线__x＝2__ ，顶点坐标是__(2，－3)__.当x＝__2__时，函数y有最__大__值，其值为__－3__.

2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第__四__象限．

3．已知二次函数y＝－x2－2x＋6.

(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；

(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？

解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.

(2)令y＝0得到－x2－2x＋6＝0，解得x＝－6或2，∴观察图象可知，－6＜x＜2时，y＞0，当x＞－2时，y随x的增大而减小．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

【互动探索】(引发学生思考)求解实际问题中的最值问题的关键是建立函数模型，此题中的函数解析式应该怎么建立？

【解答】设该直角三角形的一条直角边为x，面积是S，则另一直角边为8－x.

根据题意，得S＝x(8－x)(0＜x＜8)，

配方，得S＝－(x－4)2＋8.

∴当x＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决实际问题的关键是建立数学模型，建立数学模型的关键是找出题中的等量关系．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：

(1)开口方向：当a>0时，向上；当a<0时，向下；

(2)对称轴：直线x＝－；

(3)顶点坐标：；

(4)增减性：如果a>0，当x<－，y随x的增大而减小，当x>－，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－，y随x的增大而增大，当x>－，y随x的增大而减小．

请完成本课时对应练习！

第7课时　用待定系数法求二次函数的解析式

一、基本目标

【知识与技能】

1．能用待定系数法求二次函数的解析式．

2．能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．

【过程与方法】

经历待定系数法求二次函数解析式的探究过程，体会数学建模的思想．

【情感态度与价值观】

通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．

二、重难点目标

【教学重点】

用待定系数法求二次函数的解析式的具体步骤．

【教学难点】

根据已知条件选取适当的方法求二次函数的解析式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P39～P40的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定__一次__函数，即可以求出这个__一次函数__的解析式．

2．已知二次函数y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2的图象过点(0,5)，求m的值，并写出这个二次函数的解析式．

解：把(0,5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.所以该二次函数的解析式为y＝x2＋6x＋5.

3．用待定系数法求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的__坐标__)列出关于a、b、c的__方程组__，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】已知抛物线的顶点为(1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求抛物线的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？

【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－3.

∵抛物线与y轴交于点(0，－5)，

∴－5＝a(0－1)2－3，解得a＝－2.

∴抛物线的解析式为y＝－2(x－1)2－3，即y＝－2x2＋4x－5 

【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知二次函数顶点坐标(h，k)及过其另一点，通常设二次函数的顶点式，即y＝a(x－h)2＋k.

【例2】抛物线经过点(－1,0)，(5,0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及过其另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？

【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．

将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝.

则该抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－5)，

即y＝x2－2x－.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1,0)，(x2,0)时，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．求此抛物线的表达式．

解：设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.将A(1,3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋5.

2．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1,0)、C(m,2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．

解得∴该函数的解析式为y＝2x2＋x－3.把C(m,2m＋3)代入，得2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2，∴点C的坐标为或.

3．已知二次函数的图象经过点(0,3)，(－3,0)，(2，－5)．

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)请你判断点P(－2,3)是否在这个二次函数的图象上．

解得∴该函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.

(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2,3)在此二次函数的图象上．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为(2,1)．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)求二次函数表达式的一般方法是什么？判断一个点是否在函数图象上的一般方法是什么？

【解答】(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋.∵图象过A(2,1)，∴a＋＝1，即a＝，∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2＋.(2)点B在这个函数图象上．理由如下：如图，过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D.在△AOC与△OBD中，∠AOC＝∠OBD＝90°－∠BOD，∠ACO＝∠ODB＝90°，OA＝OB，∴△AOC≌△OBD，∴DO＝AC＝1，BD＝OC＝2，∴B(－1,2)．当x＝－1时，y＝(－1－1)2＋＝2，∴点B在这个函数图象上．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个点是否在函数图象上，只需要将点的坐标代入函数解析式，看点的坐标是否满足解析式，若满足，则点在函数图象上；若不满足，则点不在函数图象上．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点横坐标)：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．

请完成本课时对应练习！

22.2　二次函数与一元二次方程

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解二次函数与一元二次方程的关系．

2．会判断抛物线与x轴的交点个数．

3．掌握方程与函数间的转化．

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，进一步体会数形结合思想．

【情感态度与价值观】

通过对小球飞行问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数与一元二次方程的关系．

【教学难点】

用图象法求解一元二次方程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P43～P46的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

(1)方程x2＋x－2＝0的根是__x1＝－2，x2＝1__；

(2)方程x2－6x＋9＝0的根是__x1＝x2＝3__；

(3)方程x2－x＋1＝0的根是__无实根__.

2．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是__没有交点__.

3．一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：

(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝__x0___时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个__根__；

(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：__没有__实数根，有两个__相等__的实数根，有两个__不等__的实数根．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】求二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标．

【互动探索】(引发学生思考)怎样求二次函数与x轴的交点坐标？二次函数与一元二次方程有什么关系？

【解答】令－(x－2)2＋1＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．

【例2】小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，求方程的另一个近似根(精确到0.1)．

【互动探索】(引发学生思考)求一元二次方程的另一个近似根，如何将要求的这个根与已知的图象信息联系起来？

【解答】∵抛物线与x轴的一个交点为(－3.4,0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴另一个交点坐标为(1.4,0)，则方程的另一个近似根为1.4.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的另一个近似根，可以根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，即可得到方程的另一个近似根．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__－3__ ，x2＝ __1__.

2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．

解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.

3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过点(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1.∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

【互动探索】(引发学生思考)要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高，如何确定四边形的底和高？

【解答】(1)证明：y＝x2－(a－1)x＋a－2.

∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，

∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，

∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．

(2)由题可知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.

2－，

∴A.

当y＝0时，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∴B(1,0)、D(2,0)．

当x＝0时，y＝2，

∴C(0,2)．

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

3．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

请完成本课时对应练习！

22.3　实际问题与二次函数

一、基本目标

【知识与技能】

1．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求解实际问题．

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实物抛物线问题．

【过程与方法】

在运用二次函数知识解决实际问题的过程中体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值和数学转化思想．

【情感态度与价值观】

会运用二次函数的知识解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

利用二次函数解决实际问题的步骤．

【教学难点】

读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P49～P51的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

2__＋____；当a＞0时，二次函数有__最小__值，即当x＝－时，y最小值＝__；__当a＜0时，二次函数有__最大__值，即当x＝－时，y最大值＝____.

2．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 __y＝10(x＋1)2__.

3．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y＝－x2＋3，一辆车高2.6 m，宽4 m，该车 __不能__(填“能”或“不能”)通过该隧道．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？

【互动探索】(引发学生思考)解决此类题的关键是将实际问题转化为数学问题，其中“窗户通过的光线最多”应转化为求什么？

【解答】由题意可知，4y＋×2πx＋7x＝15.

化简，得y＝.

设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x×＝－3.5x2＋7.5x.

∵a＝－3.5<0，∴S有最大值．

∴当x＝－＝≈1.07 m时，

S最大＝＝≈4.02(m2)．

即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多．

此时，窗户的面积是4.02 m2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．

【例2】某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【互动探索】(引发学生思考)利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？其关键点是什么？

【解答】(1)根据题意，得y＝(70－x－50)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000.

∵70－x－50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20.

2＋6125，

∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125.即当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用二次函数解决实际问题的步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，分析它们之间的关系；(3)设适当的未知数，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．如图2建立平面直角坐标系，求抛物线的关系式．

　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2

解：由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2.由题意可知，且抛物线过点(2，－2)，∴－2＝a×22，解得a＝－0.5.即抛物线的关系式为y＝－0.5x2.

2．已知：如图，用长为18 m的篱笆(3AB＋BC)，围成矩形花圃．一面利用墙(墙足够长)，求围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积．

解：设AB＝x m，则BC＝(18－3x) m，则围成的矩形花圃ABCD的面积为S＝x(18－3x)＝－3x2＋18x＝－3(x2－6x)＝－3(x－3)2＋27，即围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为27 m2.

3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

解：(1)由题意得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．

(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500.

(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如图所示.

(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

(2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．

【互动探索】(引发学生思考)要求二次函数解析式，如何用待定系数法来求解？要求日销售总量y的最大值，如何根据二次函数的性质确定最大值？

【解答】(1)根据观察可设y1＝at2＋bt＋c.

将(0,0)，(5,25)，(10,40)代入，得解得∴y1与t的函数关系式为y1＝－t2＋6t(0≤t≤30，且为整数)．

(2)当0≤t≤10时，设y2＝kt.

∵(10,40)在其图象上，∴10k＝40，∴k＝4，

∴y2与t的函数关系式为y2＝4t；

 当10≤t≤30时，设y2＝mt＋n.

将(10,40)，(30,60)代入，得

解得

∴y2与t的函数关系式为y2＝t＋30.

综上所述，y2＝

(3)依题意，得y＝y1＋y2.

当0≤t≤10时，y＝－t2＋6t＋4t＝－t2＋10t＝－(t－25)2＋125，

∴t＝10时，y最大＝80；当10＜t≤30时，y＝－t2＋6t＋t＋30＝－t2＋7t＋30＝－2＋.

∵t为整数，∴t＝17或18时，y最大＝91.2.

∵91.2＞80，∴当t＝17或18时，y最大＝91.2(百件)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在运动变化中，随着自变量取值的变化，函数关系有时会发生变化，在这种情况下，需要对自变量的取值范围进行分段(或分类)讨论．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

23.1　图形的旋转

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．

2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．

3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．

【过程与方法】

通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．

【情感态度与价值观】

1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．

2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

旋转及对应点的有关概念及其应用．

【教学难点】

旋转的基本性质．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．观察教材P59“思考”，回答问题．

(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？

解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．

(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？ 

解：形状、大小不变，位置发生变化．

(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.

(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。

2．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的__旋转__，点O叫做__旋转中心__，转动的角叫做__旋转角__.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的__对应点__.

3．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离__相等__；对应点与旋转中心所连线段的夹角__等于__旋转角；旋转前、后的图形__全等__.

4．如图，△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是__点O__，经过旋转，点A转到__点E__，点B转到__点F__，线段OA、OB、AB分别转到__OE、OF、EF__，∠A的对应角是__∠E__，∠B的对应角是__∠F__，∠AOB的对应角是__∠EOF__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形．

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

(4)如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

【互动探索】(引发学生思考)已知旋转前后的两个图形，确定旋转中心、旋转角度的关键是什么？旋转的性质有哪些？

【解答】(1)旋转中心是A点．

(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，

∴点B与点D是对应点，

∴∠DAB＝90°就是旋转角．

(3)∵AD＝1，DE＝，

∴AE＝＝.

∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，

∴AF＝AE＝.

(4)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE，

∴△EAF是等腰直角三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转中心是“定点”，只有一个；旋转角有多个，对应点(比如点F和点E)与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；旋转不改变图形的大小和形状．

【例2】如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．

【互动探索】(引发学生思考)旋转作图要满足的三要素是？

【解答】(1)连结CD；

(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；

(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；

(4)连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕点C旋转后的图形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转作图时，首先必须确定旋转中心、旋转方向和旋转角，并根据对应点到旋转中心的距离相等找到对应点．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(　B　)

　　　　　　　　　A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　　D

2．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是(　C　)

A．35°　    B．45°

C．55°　    D．65°

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．

(1)求旋转角的大小；

(2)若AB＝10，AC＝8，求BE的长．

解：(1)∵△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°.　(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6.∵△ABC绕着点C旋转得到△EDC，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连结CD、BE.

(1)求证：∠AEB＝∠ADC；

(2)连结DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．

【互动探索】(引发学生思考)(1)证明角相等，可以转换为证明三角形全等；(2)要求∠BED的度数，由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．

【解答】(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC.

∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，

∴∠DAE＝60°，AE＝AD，

∴∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC，

∴∠EAB＝∠DAC.

在△EAB和△DAC中，

∵ 

∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC.

(2)∵∠DAE＝60°，AE＝AD，

∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°.

又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，

∴∠BED＝∠AEB－∠AED＝45°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明角相等和求解角的度数，利用等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，即可得解，熟练掌握旋转的性质证得三角形全等是解题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

23.2　中心对称

23.2.1　中心对称(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解中心对称、对称中心的概念．

2．掌握中心对称图形的性质．

3．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．

【过程与方法】

通过研究旋转及其性质，转化到一类特殊的旋转——中心对称及其性质．

【情感态度与价值观】

通过对旋转及其性质的了解，体会“中心对称”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

中心对称的概念及性质．

【教学难点】

中心对称性质的推导及理解．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P～P66的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形 __重合__，那么就说这两个图形关于这个点__对称或中心对称__，这个点叫做__对称中心__.

2．两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的__对称点__.

3．对称中心的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心__，而且被对称中心所__平分__.(2)关于中心对称的两个图形是__全等__图形．

4．如图，四边形ABCD绕点D旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由；

(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心对称的对称点是哪些点．

解：如图，(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是点D.　(2)点A、B、C、D关于中心D的对称点分别是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形．

【互动探索】(引发学生思考)作出某个图形关于某个点成中心对称图形的关键是什么？按照怎样的步骤作图？

【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′.因为点C关于点D的中心对称点是B(C′)，点B关于中心点D的对称点为C(B′)；

(2)连结A′B′、A′C′.

则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．

【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(　C　)

A．1组　    B．2组　

C．3组　    D．4组

2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(　A　)

A．O1　    B．O2　

C．O3　    D．O4

3．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(　D　)

A．AO＝BO

B．BO＝EO

C．点A关于点O的对称点是点D

D．点D 在BO的延长线上

4．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心．

解：如图所示，点O即为所求作的对称中心．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，D是△ABC边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结BE.

(1)哪两个图形成中心对称？

(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；

(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【互动探索】(引发学生思考)(1)两个图形成中心对称，满足什么样的条件？(2)成中心对称的两个图形有什么性质？(3)要求线段的取值范围，一般是根据三角形三边关系解题．

【解答】(1)图中△ADC和△EDB成中心对称．

(2)∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4.

∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，

∴△ABE的面积为8.

(3)连结CE.在△ABD和△ECD中，

∵ 

∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE.

∵△ACE中，AB－AC＜AE＜AC＋AB，

∴2＜AE＜8，

∵AD＝DE，∴1＜AD＜4.

【互动总结】(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△BDE的面积，根据等底同高确定△ABD的面积，从而确定△ABE的面积；(3)可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．

环节3　课堂小结，当堂达标 

(学生总结，老师点评) 

请完成本课时对应练习！

23.2.2　中心对称图形(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握中心对称图形的定义．

2．能准确判断某图形是否为中心对称图形．

【过程与方法】

通过研究旋转及其性质，转化到中心对称图形的判断及其性质．

【情感态度与价值观】

通过对中心对称图形的了解，能够判断某个图形是否为中心对称图形，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

中心对称图形的判断．

【教学难点】

两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称、美观、平稳的特点．

2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．

 略

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】下列图形中是中心对称图形的是(　　)

【互动探索】(引发学生思考)中心对称图形的特点是什么？

【分析】A.是中心对称图形，此选项正确；B.不是中心对称图形，此选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误．

【答案】A

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是不是中心对称图形，就是看是否存在一个点，把图形绕着它旋转180°后能与原图形完全重合．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．下列图形中，不是中心对称图形的是(　B　)

2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　C　)

A．等腰三角形　    B．平行四边形

C．矩形　    D．等腰梯形

3．顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形(　B　)

A．既是轴对称图形也是中心对称图形

B．是轴对称图形但不是中心对称图形

C．是中心对称图形但不是轴对称图形

D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形

4．如图，下列汉字或字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(　B　)

A．1个　    B．2个　

C．3个　    D．4个

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．

(1)如图1，直线l经过▱ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB__________S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；

(2)如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；

(3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分分割)．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要判断两个四边形面积的大小，根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．

【解答】(1)＝　(2)如图4所示．　(3)如图5所示．

【互动总结】(1)直接根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．

环节3　课堂小结，当堂达标 

(学生总结，老师点评) 

中心对称图形 

请完成本课时对应练习！

23.2.3　关于原点对称的点的坐标(第3课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解点P与点P′关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系．

2．掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．

【过程与方法】

通过研究两个点关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系，掌握其坐标变化的规律．

【情感态度与价值观】

通过对关于原点对称的点的坐标的探索，掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

关于原点对称的点的坐标的关系．

【教学难点】

关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

关于原点对称的两个点：

(1)它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？

(2)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？

解：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．

(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．

2．点P(－4，－3)关于原点对称的点的坐标是(　A　)

A．(4,3)　    B．(－4,3)

C．(－4，－3)　    D．(4，－3)

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．

【互动探索】(引发学生思考)找关于原点对称的点，本质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点．

【解答】如图所示：

根据图形可知：A1(2，－2)、B1(3,0)、C1(1,1)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就可确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．点P(3,2)关于原点对称的点在(　C　)

A．第一象限　    B．第二象限

C．第三象限　    D．第四象限

2．已知点P(a＋1,2a－3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(　B　)

A．a＜－1　    B．－1＜a＜

C．－＜a＜1　    D．a＞

3．若点A(a－1，－4)与点B(－3,1－b)关于原点对称，则(a＋b)2018的值为__1__.

4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．

(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．

解：(1)点A、B、C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A1B1C1，如图所示．

(2)如图，点A、B、C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A2B2C2.

(3)如图，P(2,0)．作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：

(1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；

(2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来；

(3)根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M(2a＋5,1－3b)经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N(－3－a，－b＋3)，求关于x的方程－的解．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要求点的坐标，结合直角坐标系可得出各点的坐标；(2)根据(1)的坐标特征可得△ABC与△PQR关于原点对称；(3)要求解题中的这个一元一次方程，先根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a、b的值，代入解方程即可得出答案．

【解答】(1)点A的坐标为(4,3)，点P的坐标为(－4，－3)；点B的坐标为(3,1)，点Q的坐标为(－3，－1)；点C的坐标为(1,2)，点R的坐标为(－1，－2)．

(2)△ABC与△PQR关于原点对称．

(3)由题意，得2a＋5＝3＋a,1－3b＝b－3.

解得a＝－2，b＝1.

则方程可化为－＝1，解得x＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)关于原点对称的点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

环节3　课堂小结，当堂达标 

(学生总结，老师点评) 

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)，及利用这些特点解决一些实际问题．

请完成本课时对应练习！

23.3　课题学习　图案设计

一、基本目标

【知识与技能】

1．认识和欣赏平移、旋转和轴对称在现实生活中的应用．

2. 利用图形的平移、旋转和轴对称变换设计组合图案．

【过程与方法】

再次认识平移、旋转和轴对称变换，并利用图形的平移、旋转和轴对称变换设计组合图案．

【情感态度与价值观】

通过对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念，增强审美意识．

二、重难点目标

【教学重点】

设计图案．

【教学难点】

如何利用平移、旋转、轴对称等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．我们学过的图形变换方式有__平移__、__旋转__ 、__轴对称__.

2．下列图形之间的变换分别属于什么变换？

__平移__

　　__轴对称__

__旋转__

　　__旋转__

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到上图的是(　　)　　　　　　

【互动探索】(引发学生思考)要判断选项中的哪个图形不能经过平移、旋转或翻折后得到上面的图形，联想平移、旋转、轴对称的性质及图形特征，细心分析．

【分析】A.把平移得到，然后把旋转可得到上图；B.把旋转可得到上图；C.把经过平移、旋转或翻折后，都不能得到上图；D.把翻折后可得到上图．故选C.

【答案】C

【互动总结】(学生总结，老师点评)复杂图案的分析，先从整个图案着手，分析图案的组成有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变换的．

【例2】如图是一个等腰直角三角形经过若干次旋转而成的，则每次旋转的角度最小是________.

【互动探索】(引发学生思考)观察图形，圆周角被分成8个相等的角，每旋转一个角度都能与原来的图形重合，然后计算即可得解．

【答案】45°

【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是(　B　)

2．如图所示的图案，能由一个“基本图案”旋转得到的图案有(　D　)

A．1个　　    B．2个　　

C．3个　　    D．4个

3．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为(　C　)

A．30°　　    B．60°　　

C．90°　　    D．120°

4．山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美．图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的，图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图．

(1)根据图2将图3补充完整；

(2)在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形．

略

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】阅读理解，并解答问题：

如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图1中的图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．

问题：

请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图2，图3的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：

(1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形；

(2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要使设计的图案必须是轴对称图形但不是中心对称图形，所以每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形和轴对称图形，然后画出图．

【解答】(1)如图4所示．

(2)如图5所示．

【互动总结】(学生总结，老师点评)由一个基本图案可以通过平移、旋转或轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素(①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度)设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．

环节3　课堂小结，当堂达标 

(学生总结，老师点评) 

请完成本课时对应练习！

24.1　圆的有关性质

24.1.1　圆(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握圆的两种定义及与圆有关的概念，并能够从图形中识别．

【过程与方法】

通过实际操作体会圆的不同定义，数形结合理解与圆有关的概念，掌握学习几何的一些常用方法：实际操作法、数形结合法等．

【情感态度与价值观】

通过实际操作，体会数学中的创造与探索精神，体会圆的有关概念．

二、重难点目标

【教学重点】

圆的有关概念．

【教学难点】

用集合观点定义圆．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(1)到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．

(2)连结圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做__圆弧__；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__.

2．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦；圆中以点A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．

3．什么叫等圆？什么叫等弧？

解：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中正确的是________.(填序号)

【互动探索】(引发学生思考)优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？

【答案】②

【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的有关概念可知，连结圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧．

【例2】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．

【互动探索】(引发学生思考)要使A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么关系？点A、B、C、D与点O有什么关系？

【证明】连结OC、OD.

∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，

∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．

【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的是__①__.(填序号)

2．如图，点A、B、C、E在⊙O上，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？

解：图中有3条弦，分别是弦AB、BC、CE.

3．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC、DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.

证明：连结ON、OA.

∵点A、N在半圆O上，∴ON＝OA.

∵四边形ABOC、DNMO均为矩形，

∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个，其中错误的有(　　)

A．1个　    B．2个

C．3个　    D．4个

【互动探索】(引发学生思考)结合圆的定义，怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？

【答案】A

【互动总结】(学生总结，老师点评)确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小．两者缺一不可．

【例4】A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是(　　)

A．AB＞0　    B．0＜AB＜5

C．0＜AB＜10　    D．0＜AB≤10

【互动探索】(引发学生思考)连结圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连结圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么？

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

圆

请完成本课时对应练习！

24.1.2　垂直于弦的直径(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．

2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．

【情感态度与价值观】

通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．

二、重难点目标

【教学重点】

垂径定理及其推论．

【教学难点】

垂径定理及其推论的运用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.

2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__＝__，⑤__＝.

3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．

【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？

【解答】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.

根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，则BC＝AB＝0.3米．

由题意知，OD＝OB＝0.5米，

在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝0.4米，

所以CD＝OD－OC＝0.1米，

即此时的水深为0.1米．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？

解：连结AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC－CD＝5－1＝4.∵OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴AD＝＝3.又∵AB为⊙O的弦，∴AB＝2AD＝6.

2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．

解：过点O作OC⊥AB于点C.∵OC⊥AB，AB＝16 cm，∴∠OCB＝90°，BC＝AB＝8 cm.又∵OB＝10 cm，∴OC＝＝6 cm，即截面圆心O到水面的距离为6 cm.

3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．

解：如图，连结OC.设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，CD＝600 m，∴∠OFC＝90°，CF＝CD＝300 m．在Rt△OFC中， 根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545.即这段弯路的半径为545 m.

 【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．

【互动探索】(引发学生思考)要求两条平行弦AB、CD之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？

【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.

由题意可知，OA＝OC＝13.

∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.

又∵AB＝24，CD＝10，

∴AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，

∴EO＝＝5，OF＝＝12，

∴EF＝OF－OE＝7.

当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.

同(1)可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.

综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．

【例3】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)求当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施，那么此时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？

【解答】不需要采取紧急措施．

理由如下：连结OM，设OA＝R m.

由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，

由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.

在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，

∴OE＝＝30 m，

∴DE＝OD－OE＝4 m.

∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

24.1.3　弧、弦、圆心角(第3课时)

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理．

【过程与方法】

通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系定理．

【情感态度与价值观】

通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应用．

二、重难点目标

【教学重点】

圆心角、弧、弦之间的关系定理及其应用．

【教学难点】

圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索和证明．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P83～P85的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．圆是中心对称图形，__圆心__就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转一个角度，所得的图形与原图形__重合__.

2．顶点在__圆心__的角叫做圆心角．

3．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__.

(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__.

(3)如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的优弧和劣弧分别__相等__.

4．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，若∠AOB＝∠COD，则__AB＝CD，＝__；

若＝，则__∠AOB＝∠COD，AB＝CD____；

若AB＝CD，则__∠AOB＝∠COD，＝__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图所示，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)由∠AOB＝120°，C是的中点，可想到连结OC，则结合弧、圆心角之间的关系可以知道什么？又同圆中半径相等，可以猜想出四边形OACB的形状是什么？

【解答】四边形OACB是菱形．

理由如下：如图，连结OC.

∵∠AOB＝120°，C是的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.

又∵CO＝BO，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.

同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC.

又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，

∴四边形OACB是菱形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是(　A　)

A．AC＝BD　    B．AC＜BD

C．AC＞BD　    D．不确定

2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

解：∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BOD＝×180°＝120°.

3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．

解：∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵在⊙O中，AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.

【互动探索】(引发学生思考)求证＝，由弧、弦、圆心角的关系定理，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？

【证明】如图，连结OC、OD.

∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，∴OM＝ON.

∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.

在Rt△OMC和Rt△OND中，∵ 

∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，

∴∠COM＝∠DON，∴＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

【例3】如图，⊙O中，已知∠AOB＝2∠COD，求证：2CD＞AB.

【互动探索】(引发学生思考)求证2CD＞AB，是比较AB与2CD的大小，而题中没有线段长是2CD，无法直接比较，这就需要将2CD进行转化或构造2CD，再进行比较．已知∠AOB＝2∠COD，由弧、弦、圆心角之间的关系定理，想怎样将2CD进行转化或构造2CD，再想比较两边大小时的方法有哪些．

【证明】如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连结AE、BE，∴＝，

∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB.

又∵∠AOB＝2∠COD，

∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，

∴AE＝BE＝CD.

∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，

∴2CD＞AB.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意分析题中的已知条件，结合问题将条件进行转化，再求解．解本题的关键是根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而将问题转化为三角形三边关系问题，进而得证．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

24.1.4　圆周角(第4课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．

2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．

【过程与方法】

1．经历圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学方法．

2．经历圆内接四边形性质的证明，引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．

【情感态度与价值观】

通过圆周角定理的证明向学生渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律，并在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学好数学的信心．

二、重难点目标

【教学重点】

圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．

【教学难点】

探究并论证圆周角定理及其推论．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P85～P88的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．顶点在__圆上__，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．

2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__.

3. 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角__相等__ ；半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__.

4．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角__互补__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点P为上，求∠P的度数．

【互动探索】(引发学生思考)求∠P的度数，题中只知道∠C的度数，两者有什么关系吗？可以转化为求什么？由⊙O的内接四边形ABCD可以得到什么？这与求∠P的度数有什么关系？

【解答】如图，连结BD.

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BAD＋∠C＝180°，

∴∠BAD＝180°－∠C＝70°.

又∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝55°.

∵四边形APBD是⊙O的内接四边形，

∴∠P＋∠ADB＝180°，

∴∠P＝180°－∠ADB＝125°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，题中可以多次运用圆内接四边形的性质．

【例2】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．

【互动探索】(引发学生思考)求∠ABD的度数，∠ABD在△ABP中，又∠APB＝110°，此时想到什么？已知AB是⊙O的直径，＝结合圆周角定理及其推论，可以求出哪些角？

【解答】如图，连结CD、CB.

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠APB＝∠DPC＝110°，

∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°.

∵＝，∴∠CBD＝∠CAB＝20°，

∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等求出∠CAB的度数．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)

A．25°　    B．50°

C．25°或155°　    D．50°或130°

【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧．

2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为__70°__.

3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为__130°__.

【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解．

4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.

5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．

解：如图，连结OC.∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC.又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3 cm.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为点D，点E为上一点，且BE＝CF.

(1)求证：AE是⊙O的直径；

(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明AE是⊙O的直径，结合圆周角定理的推论可以转化为证明什么？怎样进行证明？(2)要求AC的长，求线段长的方法有哪些？题中只给出了AE的长，AC的长怎样和AE建立关系？先从哪儿入手呢？

【解答】(1)证明：∵BE＝CF，∴∠BAE＝∠CAF.

∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，

∴∠FAD＋∠ACD＝90°.

又∵∠E＝∠ACB，∴∠E＋∠BAE＝90°，

∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径．

(2)如图，连结OC.

∵∠ABC＝∠CAE，

∴＝，∴∠AOC＝∠EOC.

由(1)知，AE是⊙O的直径，

∴∠AOC＝∠EOC＝90°.

又∵OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形．

∵AE＝8，∴AO＝CO＝AE＝4，

∴AC＝4.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，也可以逆向思考，即由所求结论和问题出发，看由结论和问题可以推出什么，再结合已知条件进行证明或求解，从而使问题得到解决．

【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝.请连结线段BC，求四边形ABCD各内角的度数．

【互动探索】(引发学生思考)求四边形ABCD各内角的度数，由AB是半圆的直径，且∠BAC＝20°，想到圆周角定理及其推论，由此可以求出哪些角的度数？又由题可知，四边形ABCD是圆的内接四边形，由此可以推出什么？

【解答】如图，连结BC.

∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.

∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，

∴∠D＝180°－∠B＝110°.

∵＝，

∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，

∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°.

即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1　点和圆的位置关系(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解点和圆的三种位置关系，掌握点到圆心的距离与半径之间的关系．

2．掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆．

3．了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明．

【过程与方法】

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

【情感态度与价值观】

1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

二、重难点目标

【教学重点】

1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

2．三角形的外接圆和外心．

【教学难点】

反证法的应用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P92～P95的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d＜r__.

2．已知⊙O的直径为5，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是__点P在⊙O外__.

3．过已知点A，可以作__无数__个圆；过已知点A、B，可以作__无数__个圆；过不在同一条直线上的三点，可以作__一__个圆．

4．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．

5．锐角三角形的外心在三角形 __内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形 __外部__；任意三角形的外接圆有 __一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．

6．用反证法证明命题的一般步骤：

(1)假设命题的结论__不成立__；

(2)从这个假设出发，经过推理论证得出__矛盾__；

(3)由__矛盾__判定假设 __不正确__，从而得到原命题成立．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A、B、C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝5，问A、B、C三点与⊙O的位置关系如何？

【互动探索】(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径的大小关系．

【解答】∵OA＝＝6<10，

∴点A在⊙O内．

∵OB＝＝10，∴点B在⊙O上．

∵OC＝＝＞10，

∴点C在⊙O外．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小．同时注意垂径定理和勾股定理的应用．

【例2】用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”．

【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明命题的步骤是什么？其中最关键的又是哪一步？

【解答】假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，

∴∠A＋∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确．

即一个三角形中不可能有两个角是钝角．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键，从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．已知⊙O的直径为8 cm，点A与O距离为7 cm，试判断点A与⊙O的位置关系．

解：∵⊙O的半径为4 cm,4＜7，∴点A在⊙O外．

2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．

解：在圆上任取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．

3．已知：a、b、c三条直线，a∥c，b∥c，求证：a∥b.

证明：如图，假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、D、C三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.

(1)求证：AC＝AE；

(2)求△ACD外接圆的直径．

【互动探索】(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些？结合图形，适宜用哪种方法？看到∠ACB＝90°，结合图形能得到哪些结论？对于求直径又该使用哪种方法？

【解答】(1)证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，∴AD为⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED.

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE，

在Rt△ACD与Rt△AED中，

∴△ACD≌△AED(HL)，∴AC＝AE.

(2)∵AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10

由(1)得，∠AED＝∠BED＝90°.

设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝8－x，EB＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2＝BE2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CD＝3.

∵AC＝6，∴AD2＝AC2＋CD2＝62＋32＝45，

∴AD＝3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法；利用三角形的外接圆的性质和勾股定理，直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

24.2.2　直线和圆的位置关系

第2课时　直线和圆的位置关系

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．

【过程与方法】

1．通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，向学生渗透分类讨论、数形结合的思想，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力．

2．初步培养学生能将点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系互相对应的理论迁移到直线和圆的位置关系上来．

3．让学生通过实践操作、思考、交流探索归纳出切线的判定定理及性质定理．

【情感态度与价值观】

让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程，主动探索，勇于发现，从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点．

二、重难点目标

【教学重点】

直线与圆位置关系．

【教学难点】

直线和圆三种位置关系的性质与判定的应用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．直线和圆有两个公共点，就说这条直线和圆__相交__，这条直线叫做圆的__割线__.

2．直线和圆只有一个公共点，就说这条直线和圆__相切__，这条直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__.

3．直线和圆没有公共点，就说这条直线和圆__相离__.

4．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是__相离__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，那么直线l和⊙O的公共点有__________个．

【互动探索】(引发学生思考)直线与圆的位置关系有哪几种？分别满足什么样的条件？

【分析】∵圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，

∴直线l与圆O相切，

∴直线l和⊙O的公共点有1个．

【答案】1

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断直线与圆的公共点的个数，要先确定位置关系，再由位置关系确定交点个数．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系是(　C　)

A．相离　    B．相切

C．相交　    D．无法确定

2. 如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是__相交__(填“相交”“相切”“相离”)．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相切．d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)题目中“直线l与⊙O相切”能得到什么结论？再由“d，r是一元二次方程的两根”能说明这个方程满足什么条件？

【解答】∵⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相切，

∴d＝r.

∵d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，

∴Δ＝ [－(m＋6)]2－4(m＋9)×1＝0，

解得m＝0或－8.

当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去，

∴m＝0.

【互动总结】(学生总结，老师点评)将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第3课时　切线的判定和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握切线的判定定理．

2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．

3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．

【过程与方法】

 通过画图、观察、分析理解切线的判定定理，并能初步运用解决有关问题．

【情感态度与价值观】

1．通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力．

2．通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．

二、重难点目标

【教学重点】

切线的判定．

【教学难点】

探索圆的切线的性质．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质：①切线和圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．

3．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝____ cm.

4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连结PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)证PE是圆的切线，结合图形，已知圆心和直线PE与圆的交点P，应该怎样做辅助线呢？

【解答】PE与⊙O相切．

证明：连结OP、BP，则OP＝OB.

∴∠OBP＝∠OPB.

∵AB为直径，

∴BP⊥AC.

在Rt△BCP中，E为斜边中点，

∴PE＝BC＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.

∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，即∠OBE＝∠OPE.

∵BE为切线，∴AB⊥BC.

∴OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据切线的判定定理， 要判定是否相切，关键是要连结直线与圆的交点和圆心，再借助题目条件判定连线是否与直线相垂直．

【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.如果∠A＝34°，那么∠C等于__________.

【互动探索】(引发学生思考)已知切线，连接切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？

【分析】连结OB，如图．

∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，

∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.

∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC.

∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，

∴∠C＝∠AOB＝28°.

【答案】28°

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质来进行计算或证明，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm.

2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__.

3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，且CE是⊙O的切线．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若BC＝3，AB＝4，求平行四边形OABC的面积．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明CD是切线的关键是作出正确的辅助线．(2)已知四边形OABC是平行四边形，有底边长，求其面积，还要得到哪个关键量？有切线就有垂直，利用勾股定理能得到那条边长？

【解答】(1)证明：连接OD.

∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°.

∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，

∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA.

∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，

∴∠EOC＝∠DOC.

在△EOC和△DOC中， ∵∴△EOC≌△DOC(SAS)，

∴∠ODC＝∠OEC＝90°，

∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

(2)过点D作DF⊥OC于点F.

在Rt△CDO中，OC＝AB＝4，OD＝OA＝3，

由勾股定理，得CD＝＝.

∵S△CDO＝CD×OD＝OC×DF，

∴DF＝＝＝，

∴S▱DABC＝OC×DF＝4×＝3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)有关圆的考查中，切线的判定与性质经常综合运用，在此类问题中，要注意分清是运用判定定理还是性质定理，不能混淆．有时还常常运用判定定理得到切线，再运用性质定理求解，注意解答的逻辑性．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第4课时　切线长定理

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解切线长的概念，并理解切线长定理．

2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．

3．理解和灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的能力．

【过程与方法】

经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想．

【情感态度与价值观】

了解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

二、重难点目标

【教学重点】

切线长定理．

【教学难点】

应用切线长定理解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间线段的长叫做这点到圆的切线长．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．

3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝__4__.

4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．

5．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.

【互动探索】(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？

【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.

∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，

∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.

【答案】2

【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．

【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.

【互动探索】(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否运用四边形内角和定理求解？

【分析】∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，

∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.

∵E、F是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，

∴∠DOE＝180°－∠B＝110°.

【答案】110°

【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而根据问题进行求解．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__2__.

2．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__.

3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是优弧BC上异于B、C的一动点，则∠BPC＝ __65°__.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．

【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，可以通过规则图形怎样来“割补”？分别连结切点与圆心、交点与圆心，得到直角三角形，如何求得阴影部分的面积？

【解答】连结PO、AO.

∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB＝60°，

∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，

∴∠AOP＝60°.

∵⊙O半径为3，∴OA＝3，PO＝6，

∴PA＝＝3，

∴S△PAO＝AO·PA＝×3×3＝，

S扇形AOC＝＝π，

∴S阴影＝2(S△PAO－S扇形AOC)＝2×＝9－3π.

【互动总结】(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，经常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的运用．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

24.3　正多边形和圆

一、基本目标

【知识与技能】

1．经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．

2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正n边形．

3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形与圆有关的计算问题．

【过程与方法】

1．结合生活中正多边形的图案，发现正多边形和圆的关系，学会用圆的有关知识解决相应的计算问题，从而丰富对正多边形的认识．

2．学会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展实践能力和创新精神．

【情感态度与价值观】

1．通过正多边形与圆的关系定理的教学，培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．

2．通过等分圆周构造正多边形的实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．

二、重难点目标

【教学重点】

正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念，用量角器等分圆．

【教学难点】

正多边形与圆的有关计算，用尺规作图作圆内接正方形和正六边形．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P105～P107的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．__各边__相等，__各角__也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的__半径__叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．

3. 画正n边形只需先画一个圆，然后把圆__n等分__，依次连接各分点，即可得圆的__内接__正n边形，这个圆就是这个正多边形的__外接__圆．

4．把一个圆分成n等份，连接各点所得到的多边形是__正多边形__，它的中心角等于__360°__.

5．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为__6__.

6．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为__4__.

7．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为__18__cm.

8．你能用尺规作出正六边形吗？

解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则可作出正六边形．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要求正六边形的周长，需要知道正六边形的边长．(2)要求正六边形的面积，不能直接求解，则需要通过做辅助线，将其转化为求几个三角形的面积和，那么应该怎么做辅助线呢？

【解答】连结OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M.

∵ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB＝＝60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴正六边形ABCDEF的周长为6a.

在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a，

利用勾股定理，可得边心距OM＝＝，

∴正六边形ABCDEF的面积＝6×AB×OM＝6×a×a＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决与正多边形有关的问题，通常转化为由正多边形的半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形的计算问题．

【例2】已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．

【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分，所以它的中心角为120度，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？

【解答】(方法一)任取一点A，连接OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连接A、B、C三点，可得△ABC.

(方法二)用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连接A、B、C三点，可得△ABC.

(方法三)用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连接不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．

(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连接A、B、C三点，可得△ABC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连接A、B、C三点，可得△ABC.

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　C　)

A．60°　    B．45°

C．30°　    D．22.5°

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(　C　)

A．36°　    B．60°

C．72°　    D．108°

3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有(　A　)

①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；

②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；

③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；

④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．

A．4个　    B．3个

C．2个　    D．1个

4．正八边形共有__8__条对称轴．

5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数__相等__.

6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？

解：先画一个O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.求∠APH的度数．

【互动探索】(引发学生思考)要求∠APH的度数，结合图形特点，需要将其转化为求其他角的度数．根据正六边形的性质能得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，由得出的等边、等角及BG＝CH所在的三角形，那么可以转化成求哪个角的度数，即可求得∠APH的度数？

【解答】∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，

又BG＝CH，

∴△ABG≌△BCH，

∴∠BAG＝∠HBC.

∵∠BAG＋∠ABP＝∠HBC＋∠ABP，

∴∠APH＝∠ABC＝120°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题从问题本身出发，不容易得到解决问题的方法，则需要将所求问题结合已知条件进行等价转化．结合已知条件和正六边形的性质，很容易得到两个三角形全等，利用三角形的外角可求得∠APH的度数．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

正多边形的相关概念：

(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

请完成本课时对应练习！

24.4　弧长和扇形面积

第1课时　弧长和扇形面积

一、基本目标

【知识与技能】

了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

【过程与方法】

经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

【情感态度与价值观】

通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

弧长及扇形面积计算公式．

【教学难点】

弧长及扇形面积计算公式的推导过程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P111～P113的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____，n°的圆心角所对的弧长是____.

2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是____，n°的圆心角所对应的扇形面积是____.

3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__lR__.

4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的的长是____3π____ .

5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为____3π____cm2.

6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝__18_cm__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)．

【互动探索】(引发学生思考)要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以，本题还需要考虑做辅助线．

【解答】由题意得，BE＝2 m，AC＝3 m，CD＝0.5 m.

作BG⊥AC于G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5 m.

∵AB＝2AG，∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.

根据对称性，知∠BAF＝120°.

∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决．如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．

【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积：

【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是一个半圆，要求阴影部分的面积，需要知道半径，怎样求出半径的长呢？

【解答】∵AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5.

∵AC⊥CD，AC＝5，AD＝13，

∴CD＝12，OC＝6.

∴S阴影＝＝18π( cm2)，

∴阴影部分的面积为18π cm2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题求的是半圆的面积，也可以直接利用圆的面积公式进行计算．扇形的面积公式有两个，一个是利用半径和圆心角进行计算，另一个是利用弧长和半径进行计算．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数＝__120°__.

2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π，则这个扇形的面积S扇＝__π cm2__.

3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长＝__π__ .

4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为__8__ cm.

5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为__336π__ .

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．

【互动探索】(引发学生思考)图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

【解答】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°.

根据已知条件有 

两式相除，得＝.

∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.

∴OC＝18＋12＝30.

∴S阴影＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π (cm)2.

所以阴影部分的面积为96π cm2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第2课时　圆锥的侧面积和全面积

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式．

2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题．

【过程与方法】

通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．

【情感态度与价值观】

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．

2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

二、重难点目标

【教学重点】

圆锥侧面积和全面积的计算．

【教学难点】

探索圆锥侧面积计算公式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P113～P114的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的几何体，连接圆锥__顶点__和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和__底面圆心__的线段叫做圆锥的高．

2．圆锥的侧面展开图是一个__扇形__，其半径为圆锥的__母线__，弧长是圆锥底面圆的__周长__.

3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： __l2＝h2＋r2__，圆锥的侧面积S＝__πlr__；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝__πr2__＋__πlr__.

4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为__12π____.

5．圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180°__.

6．如果圆锥的高为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的全面积是__36π__ cm2.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1 cm2)

【互动探索】(引发学生思考)首先理解“纸帽”的侧面展开图是什么？其次要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？

【解答】设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm.

则r＝，l＝≈22.03(cm)，

S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87(cm2)．

638．87×20＝12777.4(cm2)．

至少需要12777.4 cm2的纸．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决实际问题时，首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积，确定好以后，找到需要的数据，代入公式计算即可．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是__180°__.

2．一个扇形，半径为30 cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为__10_cm__.

3．如图所示，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥．

(1)求围成的圆锥的侧面积；

(2)求该圆锥的底面半径．

解：(1)圆锥的侧面积＝＝12π(cm2)．

(2)设该圆锥的底面半径为r.

根据题意，得2πr＝，解得r＝2.

即圆锥的底面半径为2 cm.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

【互动探索】(引发学生思考)要求这个几何体的表面积，解题的关键是先分析出这个几何体的表面积由哪些部分组合而成，再选择相应的公式进行求解．

【解答】在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，

∴BC＝12 cm.

∵OC·AB＝BC·AC，

∴r＝OC＝＝＝(cm)．

∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)

＝π (cm2)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在计算组合体的表面积时，需要将其拆分成简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

25.1　随机事件与概率

25.1.1　随机事件

第1课时　随机事件

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系．

2．掌握判断随机事件的方法．

【过程与方法】

经历试验操作、观察、思考和总结，归纳必然事件、不可能事件、随机事件各自的本质属性，并抽象成数学概念．

【情感态度与价值观】

体验从事物的表象到本质的探究过程，培养认真观察的习惯，提高对事物的分析判断能力．

二、重难点目标

【教学重点】

确定事件与随机事件的概念．

【教学难点】

必然事件、不可能事件与随机事件的判断．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？

(1)太阳从西边下山；

(2)某人的体温是100℃；

(3)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；

(4)水往低处流；

(5)酸和碱反应生成盐和水；

(6)三个人性别各不相同；

(7)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解．

解：(1)(4)(5)(7)是必然发生的，(2)(3)(6)是不可能发生的．

2．在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为__必然事件__ .

3．在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为__不可能事件__，必然事件和不可能事件统称为__确定事件__.

4．在一定条件下，有些事件可能发生，也可能不发生，这样的事件称为__随机事件__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．

(1)两直线平行，内错角相等；

(2)小明打破110米栏的学校纪录；

(3)打靶命中靶心；

(4)掷一次骰子，向上一面是3点；

(5)13个人中，至少有两个人出生的月份相同；

(6)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；

(7)在装有3个球的布袋里摸出4个球；

(8)物体在重力的作用下自由下落；

(9)抛掷一千枚硬币，全部正面朝上．

【互动探索】(引发学生思考)要判断事件的类型，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，这三类事件各有什么特点？

【解答】在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，必然不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．

故(1)(5)(8)是必然事件，(7)是不可能事件，(2)(3)(4)(6)(9)是随机事件．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，要从它们的定义出发，同时也要联系生活中的相关常识，看在一定条件下该事件是一定发生、一定不发生还是可能发生．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．下列事件是必然事件的是(　D　)

A．乘坐公共汽车恰好有空座

B．同位角相等

C．打开手机就有未接电话

D．三角形内角和等于180°

2．指出下列事件中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？

(1)通常加热到100℃时，水沸腾；

(2)小明在罚球线上投篮一次，命中；

(3)掷一次骰子，向上的一面是6点；

(4)度量三角形的内角和，结果是360°；

(5)经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯；

(6)某射击运动员射击一次，命中靶心；

(7)太阳东升西落；

(8)人离开水可以正常生活100天；

(9)宇宙飞船的速度比飞机快．

解：(1)(7)(9)是必然发生的，(4)(8)是不可能发生的，(2)(3)(5)(6)是随机事件．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数．请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：

(1)出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？

(2)出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？

(3)出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？

(4)你能列举与事件(3)相似的事件吗？

【互动探索】(引发学生思考)要判断事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，就得知道事件发生的可能性情况，那么掷一次骰子，向上的一面可能是几？

【解答】(1)因为骰子的六个面上分别刻有1至6的点数，所以出现的点数不可能是7，这是不可能事件．

(2)因为骰子六个面上的数字都大于0，所以出现的点数肯定大于0，这是必然事件．

(3)因为骰子的六个面上分别刻有1至6的点数，所以出现的点数可能是4，这是随机事件．

(4)答案不唯一，如：出现的点数是3；出现的点数是1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)掷一次骰子，向上的一面一共有6种情况，出现这6种情况中的任意一种都是随机事件．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第2课时　事件发生的可能性大小

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解事件发生的可能性的大小．

2．掌握对随机事件发生的可能性大小的判断方法．

【过程与方法】

经历试验操作、观察、思考和总结，探讨不同事件发生的可能性的大小，并用“一定”“不可能”“可能”“经常”“偶尔”等恰当的词语来描述事件发生的可能性大小．

【情感态度与价值观】

通过对不同事件发生的可能性大小的探讨，提高对随机事件发生的可能性大小做定性分析的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

事件发生的可能性的大小．

【教学难点】

随机事件发生的可能性大小的判断．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P128～P129的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．必然事件__一定发生__；不可能事件__一定不会发生__；__随机事件__发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能__不同__.

2．一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其他都是黄球，从中任意摸出一个，摸中哪种球的可能性最大？

答：因为一共有20个球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，所以其中黄球有11个，故摸中黄球的可能性最大．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形一模一样的小球，其中有6个红球，3个蓝球，1个白球，并在口袋中搅匀，任意从口袋中摸出一个球．

(1)摸到哪种球的可能性最大？

(2)摸到哪种球的可能性最小？

(3)要使摸出白球的可能性和摸出篮球的可能性一样大，需要再放入多少个白球？

【互动探索】(引发学生思考)事件发生的可能性的大小与事件个数有什么关系？

【解答】(1)因为口袋中红球的数量最多，所以摸出红球的可能性最大．

(2)因为口袋中白球的数量最少，所以摸出白球的可能性最小．

(3)要使摸出白球的可能性和摸出蓝球的可能性一样大，则使白球的数量与蓝球的数量相同，需要再放入2个白球．

【互动总结】(学生总结，老师点评)因为摸出每个小球的可能性是一样的，所以摸出各种小球的可能性大小与小球的数量多少有直接关系，数量越多，被摸到的可能性越大．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．掷一枚质地均匀的骰子，下列说法正确的是(　C　)

A．向上的点数很可能是3

B．向上的点数不可能是6

C．向上的点数必然小于7

D．向上的点数一定大于1

2．20张卡片分别写着1,2,3，…，20，洗匀后背面朝上放在桌面上，从中任意抽出一张，号码是2的倍数与号码是3的倍数的可能性哪个大？

解：2的倍数有2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，共10个；3的倍数有3,6,9,12,15,18，共6个．所以从中任意抽出一张，号码是2的倍数的可能性大．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】随意抛一粒豆子，恰好落在如图所示的圆内，那么这粒豆子落在正方形里面的可能性大还是落在正方形外面的可能性大？

【互动探索】(引发学生思考)要判断随机事件发生的可能性大小，可以根据数量的多少来判断，那么，在平面图形中，应该根据什么来判断事件发生的可能性大小？

【解答】设圆的半径为1，则正方形的边长为.

圆的面积为πr2＝π，正方形的面积为()2＝2，则正方形外部的面积和为π－2.

因为2>π－2，所以这粒豆子落在正方形里面的可能性大．

【互动总结】(学生总结，老师点评)有关平面图形中随机事件发生的可能性大小，可以根据图形面积来判断，面积越大，事件发生的可能性越大．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

25.1.2　概　率(第3课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解概率的定义．

2．掌握利用概率的定义求一些简单事件概率的方法．

【过程与方法】

经历猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型．

【情感态度与价值观】

在合作探究学习过程中，激发学习的好奇心与求知欲，积累数学活动经验，发展合作交流的意识与能力．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育，帮助学生逐步建立正确的随机观念．

二、重难点目标

【教学重点】

概率的意义．

【教学难点】

随机事件发生的概率的计算．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P130～P133的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的__数值__，称为随机事件A发生的__概率__，记为P(A)．

2．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性__相等__，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝.由m和n的含义，可知__0≤m≤n__，进而有0≤≤1，因此__0≤P(A)≤1__.特别地，当A为必然事件时，P(A)＝ __1__；当A为不可能事件时，P(A)＝__0__；当A为随机事件时，事件发生的可能性越大，它的概率越接近__1__，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 __0__.

3．在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形一模一样的小球，其中有6个红球，4个白球，并在口袋中搅匀．任意从口袋中摸出一个球，摸到红球的概率为____；摸到白球的概率为____.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】已知一个口袋装有7个只有颜色不同、其他都相同的球，其中3个白球、4个黑球．

(1)求从中随机取出一个黑球的概率；

(2)若往口袋中再放入x个黑球，且从口袋中随机取出一个白球的概率是，求x的值．

【互动探索】(引发学生思考)要计算事件发生的概率，需要了解概率的定义，利用概率的定义怎样求随机事件发生的概率？

【解答】(1)因为一共有7个球，其中有4个黑球，所以从中随机取出一个球一共有7种可能，取出黑球有4种可能．故从中随机取出一个黑球的概率P(黑)＝.

(2)再放入x个黑球，则一共有(x＋7)个球，其中有3个白球，所以从中随机取出一个白球的概率P(白)＝＝.解得x＝5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝.

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如果用A表示事件“若a＞b，则a＋c＞b＋c”，用P(A)表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是(　A　)

A．P(A)＝1　    B．P(A)＝0

C．0＜P(A)＜1　    D．P(A)＞1

2．有7张卡片，分别写有1～7这7个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．

(1)求抽到数字为偶数的概率；

(2)求抽到数字小于5的概率．

解：(1)P(偶数)＝.

(2)P(数字小于5)＝.

3．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被等分成20个扇形，如图)并规定：顾客在本商场每消费200元，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，某顾客消费210元．

(1)他转动转盘获得购物券的概率是多少？

(2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？

解：(1)P(获得购物券)＝＝.

(2)P(获得100元)＝，P(获得50元)＝＝，P(获得20元)＝＝.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】随意抛一粒豆子，恰好落在如图所示的圆内，那么这粒豆子落在正方形里面的概率是多少？

【互动探索】(引发学生思考)要计算随机事件A发生的概率，得知道在一次试验中，可能结果的总数和事件A包含的结果数，那么在平面图形中，应该怎么计算随机事件发生的概率？

【解答】设圆的半径为1，则正方形的边长为.

圆的面积为πr2＝π，正方形的面积为()2＝2.

故这粒豆子落在正方形里面的概率为.

【互动总结】(学生总结，老师点评)有关平面图形中随机事件发生的概率，可以根据图形面积来计算，随机事件发生对应的图形面积与图形总面积的比值就是随机事件发生的概率．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

25.2　用列举法求概率

第1课时　用直接列举法和列表法求概率

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握用直接列举法和列表法求简单事件的概率的方法．

2．运用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的实际问题．

【过程与方法】

经历试验操作、观察、记录的过程，探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，并总结出用列表法求事件概率的方法．

【情感态度与价值观】

合作探究如何画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果，养成合作意识，形成缜密的思维习惯．

二、重难点目标

【教学重点】

利用直接列举法和列表法求随机事件的概率．

【教学难点】

画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P136～P138的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小__相等__，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．

2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，故这两种试验的所有可能结果__一样__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币．

(1)求硬币两次都正面向上的概率；

(2)求硬币两次向上的面相反的概率．

【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？

【解答】列举先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币的全部结果，它们是：正正、正反、反正、反反．所有的结果有4种，并且这4种结果出现的可能性相等．

(1)所有可能的结果中，满足硬币两次都正面向上的结果只有1种，即“正正”，所以P(硬币两次都正面向上)＝.

(2)硬币两次向上的面相反的结果共有2种，即“正反”“反正”，所以P(硬币两次向上的面相反)＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较少，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以直接列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．

【例2】有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1,2,3,4,5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取1张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取1张．

(1)求两次抽到的数都是偶数的概率；

(2)求第一次抽到的数比第二次抽到的数大的概率；

(3)求两次抽到的数相等的概率．

【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？

【解答】列表如下：

　　　第一次

(1)两次抽到的数都是偶数的结果有4种，即(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，所以P(两次抽到的数都是偶数)＝.

(2)第一次抽到的数比第二次抽到的数大的结果有10种，即(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，所以P(第一次抽到的数比第二次抽到的数大)＝＝.

(3)两次抽到的数相等的结果有5种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，所以P(两次抽到的数相等)＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较多，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以列表列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是(　B　)

A.　    B．

C.　    D．

2．在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是(　C　)

A.　    B．　

C．　    D．

3．李玲有红色、黄色、白色的三件运动短袖上衣和白色、黄色两条运动短裤．若任意组合穿着，则李玲穿着“衣裤同色”的概率是____.

4．同时掷两枚质地均匀的六面体骰子，计算下列事件的概率：

(1)两枚骰子点数的和是6；

(2)两枚骰子点数都大于4；

(3)其中一枚骰子的点数是3.

解：列表如下：

　第一枚

(1)两枚骰子点数的和是6的结果有5种，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(两枚骰子点数的和是6)＝.

(2)两枚骰子点数都大于4的结果有4种，即(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，所以P(两枚骰子点数都大于4)＝＝.

(3)其中一枚骰子的点数是3的结果有11种，即(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，所以P(其中一枚骰子的点数是3)＝.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏(红色和蓝色在一起能配成紫色)．小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？

【互动探索】(引发学生思考)结合概率的相关知识，要使游戏对双方公平，则两人获胜的概率之间有什么关系？

【解答】列表如下：

其中能配成紫色的结果有3种，所以P(小明获胜)＝＝，P(小亮获胜)＝1－＝.

因为≠，所以这个游戏对双方不公平．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个游戏对双方是否公平，就看双方获胜的概率是否相等．若相等，则公平．否则，不公平．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第2课时　用画树状图法求概率

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握用画树状图法求简单事件的概率的方法．

2．理解在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用画树状图法．

【过程与方法】

经历试验、画图、统计、运算、设计等活动，列举出事件发生的所有可能结果，计算事件发生的概率．渗透数形结合、分类讨论、由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力．

【情感态度与价值观】

通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯．

二、重难点目标

【教学重点】

利用画树状图法求随机事件的概率．

【教学难点】

画出适当的树状图列举事件的所有等可能的结果．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有数字1,2，乙口袋中装有3个相同的球，它们分别写有数字1,2,3，丙口袋中装有2个相同的球，它们分别写有数字2,3.从三个口袋中各随机地取出1个球．请表示出三个球上数字和的所有可能情况．

解：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素．此时发现用列表法就不太方便，可以尝试画树状图法，分步画图和分类排列相关的结果是关键．

画树状图如下：

三个数字的和的所有可能情况有：4,5,5,6,6,7,5,6,6,7,7,8，共12种情况．

2．用树状图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用__画树状图法__求事件的概率很有效．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】同时抛掷3枚质地均匀的相同硬币，求下列事件的概率：

(1)三枚硬币的正面都朝上；

(2)有两枚硬币的正面朝上；

(3)至少有两枚硬币的正面朝上．

【互动探索】(引发学生思考)要求随机事件发生的概率，就要知道所有的结果数，题中涉及三枚硬币，用什么方法来列举所有结果比较方便？

【解答】画树状图如下：

由树状图可知，一共有8种等可能结果，即(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(上，下，下)，(下，上，上)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)．

(1)三枚硬币的正面都朝上的结果有1种，即(上，上，上)，所以P(三枚硬币的正面都朝上)＝.

(2)有两枚硬币的正面朝上的结果有3种，即(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，所以P(有两枚硬币的正面朝上)＝.

(3)至少有两枚硬币的正面朝上的结果有4种，即(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，上，上)，所以P(至少有两枚硬币的正面朝上)＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)当一次试验涉及三个或更多个因素时，用画树状图法列举出所有可能性相同的结果，再利用概率公式P＝计算事件的概率．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

小明、小亮、小红三人参加课外兴趣小组，他们都计划从航模小组、科技小组、美术小组中选择一个．

(1)求三人选择同一个兴趣小组的概率；

(2)求三人都选择不同兴趣小组的概率．

解：用A、B、C分别表示航模小组、科技小组、美术小组，画树状图如下：

由树状图可知，一共有27种可能的结果，并且每种结果的可能性相同．

(1)三人选择同一个兴趣小组的结果有3种，所以P(三人选择同一个兴趣小组)＝＝.

(2)三人都选择不同兴趣小组的结果有6种，所以P(三人都选择不同兴趣小组)＝＝.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，一块长方形空地中间有一水池，要在四个梯形花坛内分别种红、黄、蓝三种颜色的花(每个花坛内只栽一种颜色的花)，但相同颜色的花不能相邻，那么共有多少种不同的种法？

【互动探索】(引发学生思考)分4个位置，每个位置都有3种或2种或1种情况，怎样用树状图表示出所有可能的情况？

【解答】画树状图如下：

由树状图可知，一共有18种等可能的结果，所以共有18种不同的种法．

【互动总结】(学生总结，老师点评)画树状图时，考虑条件“相同颜色的花不能相邻”，只画出符合要求的结果，这样能简化树状图．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

25.3　用频率估计概率

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握用随机事件的频率估计事件发生的概率的方法．

2．掌握设计试验来估计比较复杂的随机事件发生的概率，并灵活运用概率的有关知识解决实际问题．

【过程与方法】

经历“猜想——试验——收集数据——分析结果”的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型，理解频率与概率的关系．

【情感态度与价值观】

通过分组合作学习，积累数学活动经验，发展合作交流的意识与能力，逐步建立正确的随机观念，体验数学的价值与学习的乐趣，渗透辩证思想教育．

二、重难点目标

【教学重点】

理解用频率估计概率的条件与方法．

【教学难点】

设计试验来估计比较复杂的随机事件发生的概率．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P142～P146的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性__相等__，这两个随机事件发生的概率都是__0.5__.通过试验可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在__0.5__附近摆动．一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现一定的__稳定__性：在__0.5__附近摆动的幅度会越来越__小__.

2．教材P143“思考”的答案是“正面向上”的频率呈现出稳定性，稳定于__0.5__.

3．用频率估计概率时必须做足够的试验才能使频率__稳定于__概率，并且每项试验必须在__相同条件__下进行，试验次数越__多__，得到的频率值就越接近概率，规律就越明显，此时可以用频率的__稳定值__估计事件发生的概率．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学) 

【例1】在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.

(2)估计该麦种的发芽概率；

(3)如果该麦种发芽后，只有87%的麦芽可以成活，现有100 kg麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？

【互动探索】(引发学生思考)计算出发芽频率，然后利用频率估计概率，用频率估计概率的条件是什么？

【解答】(1)a＝1900÷2000＝0.95，b＝2850÷3000＝0.95.

(2)观察发现，随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数0.95附近，所以该麦种的发芽概率约为0.95.

(3)100×0.95×87%＝82.65(千克)，故有82.65千克的麦种可以成活为秧苗．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在大量重复试验中，如果某个事件发生的频率呈现稳定性，此时可以用频率的稳定值估计事件发生的概率．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则口袋中白色球的个数很可能是(　B　)

A．12　    B．24

C．36　    D．48

2．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：

(2)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为__0.6__.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例2】均匀的正四面体的各面依次标有1、2、3、4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

(2)“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是”的说法正确吗？

(3)随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于4的概率．

【互动探索】(引发学生思考)结合频率和概率的相关知识，频率和概率有什么区别？(2)问中的说法正确吗？

【解答】(1)

(2)这种说法是错误的．在60次试验中，“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为.只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．

(3)列表如下：

　　第一次

两次朝下数字之和大于4的结果有10种，故P(两次朝下数字之和大于4)＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)试验得出的频率只是概率的近似值，试验次数越多，频率越趋向于概率．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

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